Εισαγωγή στα Καρτεσιανά Συστήματα Συντεταγμένων

Δείτε επίσης:Γραφήματα και γραφήματα

Είτε παρουσιάζετε δεδομένα σε ένα γράφημα γραμμής, σχεδιάζετε μια διαδρομή με πλοίο κατά μήκος της ακτής, είτε απλά βρίσκετε τη θέση ενός χώρου στάθμευσης στο χάρτη ενός Εθνικού Πάρκου, θα πρέπει να έχετε κατανόηση των συντεταγμένων σημείου.

Ένα σημείο είναι έναμεμονωμένη τοποθεσίαοπουδήποτε. Θα μπορούσε να είναι σε ευθεία γραμμή (μία διάσταση), σε δισδιάστατη επιφάνεια ήεπίπεδο(για παράδειγμα μια κουκκίδα σε φύλλο χαρτιού) ή σε τρισδιάστατο χώρο (όπως η θέση ενός αεροσκάφους κατά την πτήση σε μια δεδομένη στιγμή στο χρόνο).

Το ίδιο το θέμα είναιμη διαστατικό(δηλαδή δεν έχει διαστάσεις ή μετρήσιμο μέγεθος). Τουθέσηείναι αυτό που είναι σημαντικό. Κάθε σημείο που μπορείτε να σκεφτείτε, κάθε άτομο στο διάστημα, έχει τη δική του μοναδική θέση που καταλαμβάνεται μόνο από τον εαυτό του. Αυτό το μέρος μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου (το αεροσκάφος πετά από Α σε Β), αλλά σε κάθε δεδομένη στιγμή, έχει μια μοναδική τοποθεσία. Κάθε σημείο έχει μια διεύθυνση, που ονομάζεταισυντεταγμένες, η οποία περιγράφει τη θέση της σε σχέση με άλληγνωστόςτοποθεσία.

Σε ένα δισδιάστατο επίπεδο, ένα σημείο μπορεί να περιγραφεί από το aζευγάρι συντεταγμένων, μέσα σε ένασύστημα συντεταγμένων, όπως (x, y). Σε έναν τρισδιάστατο χώρο, ένα σημείο μπορεί να περιγραφεί από τρεις συντεταγμένες, π.χ. (x, y, z). Τα πιο συνηθισμένα συστήματα συντεταγμένων που είναι πιθανό να συναντήσετε είναιΚαρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων. Χρησιμοποιούνται όπου το επίπεδο, η επιφάνεια ή ο χώρος μπορούν να περιγραφούν σε επίπεδες, ορθογώνιες διαστάσεις (όπως ένα κουτί ή ένα τετράγωνο πλέγμα).

Ωστόσο, όπου υπάρχουνκυρτόςγραμμές, επιφάνειες και χώρους, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ένα σύστημα που προέρχεται από κυκλικά σχήματα. Για περισσότερα σχετικά με αυτό, ανατρέξτε στη σελίδα μας στοπολικά, σφαιρικά ή κυλινδρικά συστήματα συντεταγμένων.

Δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες

Ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα δισδιάστατο επίπεδο ορίζεται από δύο κάθετους άξονες.

Με άλλα λόγια, δύο γραμμές γραμμένες σε ορθή γωνία μεταξύ τους σε μια επίπεδη επιφάνεια (για παράδειγμα ένα επίπεδο φύλλο χαρτιού, ένα λεπτό τζάμι ή η επιφάνεια ενός γηπέδου ποδοσφαίρου) παρέχουν ένα πλέγμα αναφοράς για κάθε σημείο αυτής της επιφάνειας. Μπορεί επίσης να δείτε αυτόν τον τύπο συστήματος που αναφέρεται ωςορθογώνιοςήορθογώνιασύστημα συντεταγμένων, επειδή οι άξονες αναφοράς είναι κάθετοι.

Ένα τυπικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζεται από τους άξονες x και y. Κάθε άξονας έχει μια μονάδα μήκους ή απόστασης (όπως μέτρα ή μίλια). Οποιοδήποτε σημείο εντός του συστήματος συντεταγμένων περιγράφεται από απόσταση σε σχέση με τους άξονες x και y, (x, y). Οι άξονες διασχίζονται στο σημείο όπου η τιμή και των δύο x και y είναι μηδέν. αυτό ονομάζεταιη καταγωγή (0,0).

Ακολουθεί ένα παράδειγμα που δείχνει τις συντεταγμένες πέντε διαφορετικών σημείων σε ένα δισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα με τους άξονες να επισημαίνονται συμβατικά ως x (οριζόντια) και y (κατακόρυφα). Καθένα από τα πέντε σημεία ορίζεται από δύο αριθμούς, ο πρώτος από τους οποίους είναι η κάθετη απόσταση προς τον άξονα y (η τιμή του x) και το δεύτερο είναι η κάθετη απόσταση από τον άξονα x (η τιμή του y). Σημειώστε ότι τοκατεύθυνσηαπό την προέλευση είναι επίσης σημαντική, καθώς αυτό θα καθορίσει εάν οι τιμές των x και y είναι θετικές ή αρνητικές.

Παραδείγματα καρτεσιανών συντεταγμένων

Όταν συναντήσετε ένα διάγραμμα όπως το παραπάνω, για παράδειγμα έναν χάρτη ή μια συλλογή δεδομένων, είναι πιθανό να χρειαστεί να κάνετε ένα από τα δύο πράγματα:

  • Είτεέχετε ένα σημείο σε ένα γράφημα και πρέπει να καθορίσετε τις συντεταγμένες του.
  • Ήέχετε τις συντεταγμένες και πρέπει να επεξεργαστείτε τη θέση του σημείου.

Προσδιορισμός των συντεταγμένων ενός σημείου

Για να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου, σκεφτείτεΣημείο Αστο διάγραμμα (επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στο θετικό τεταρτημόριο x και y ή τεταρτημόριο 1). Κατ 'αρχάς, μετρήστε πόσο μακριά βρίσκεται κατά μήκος του άξονα x από την προέλευση, δηλ. Η κάθετη απόσταση από τον άξονα y. Αυτό παρέχει τη συντεταγμένη σας x, η οποία έχει τιμή 2. Στη συνέχεια, μετρήστε πόσο μακριά είναι το σημείο κατά μήκος του άξονα y, σε κάθετη κατεύθυνση από τον άξονα x. Αυτό δίνει τη συντεταγμένη σας, η οποία έχει τιμή 3.

Οι συντεταγμένες τουΣημείο Αείναι επομένως (2,3).

Εύρεση της θέσης ενός σημείου από τις συντεταγμένες του

Στη δεύτερη περίπτωση, μπορεί να σας δοθούν οι συντεταγμένες (.55.5, −1.5) και πρέπει να βρείτε τη θέση αυτού του σημείου στο γράφημα ή στο χάρτη. Σε αυτήν την περίπτωση, ταξιδεύετε πρώτα κατά μήκος του αρνητικού άξονα x έως ότου φτάσετε στην τιμή −5,5. Στη συνέχεια, από αυτήν τη θέση, μετακινήστε σε κάθετη κατεύθυνση units1,5 μονάδες, δηλαδή 1,5 μονάδες παράλληλα με τον αρνητικό άξονα y και σημειώστε το σημείο σας. Εναλλακτικά μπορείτε να σχεδιάσετε μια κατακόρυφη γραμμή στο x = −5.5 και την οριζόντια γραμμή στο y = −1.5.

Όπου οι δύο γραμμές τέμνονται είναι το σημείο (−5,5, −1,5), το οποίο φαίνεται στο διάγραμμα ωςΣημείο Β, στο τεταρτημόριο 3.

Προειδοποίηση! Η ακολουθία είναι σημαντική!


Όταν διαβάζετε ή γράφετε συντεταγμένες, είναιπολύ σημαντικόότι είναι πάντα στη σειρά x, y. Κοιτάζοντας το Quadrant 1 στο διάγραμμα, μπορείτε να το δείτεΣημείο Α(2,3) βρίσκεται σε τελείως διαφορετική τοποθεσία από το σημείο (3,2)!

Συντεταγμένοι άξονες: Μια σημαντική σύμβαση

Τα καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων έχουν συχνά άξονες με την ένδειξη x και y, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, είναι σημαντικό να διακρίνουμε με σαφήνεια το ένα από το άλλο, καθώς το σημείο (x, y) δεν είναι το ίδιο με το σημείο (y, x).

Σε κοινή χρήση, ο οριζόντιος άξονας (x) ονομάζεταιτετμημένηκαι ο κάθετος άξονας (y) ονομάζεταιτεταγμένη. Η τετμημένη και η τεταγμένη είναι η πρώτη και δεύτερη συντεταγμένη οποιουδήποτε σημείου στο σύστημα συντεταγμένων, ανεξάρτητα από το αν οι άξονες φέρουν την ένδειξη x και y ή οτιδήποτε άλλο.

Εάν το βρείτε δύσκολο να θυμηθείτε ποιοι από τους άξονες είναιΠΡΟΣ ΤΗΝbscissa ήΉξέρτε, θυμηθείτε ότι στο αλφάβητο,x έρχεται πριν από το yκαιΈρχεται πριν από το O. Μπορείτε επίσης να φανταστείτε να πηγαίνετεΠΡΟΣ ΤΗΝμακρύς τον διάδρομο και μετά τις σκάλες!



Τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες

Σε ένα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, η θέση του σημείου στο διάστημα πρέπει να περιγραφεί από τρεις συντεταγμένες, συνήθως (x, y, z). Σε ένα δισδιάστατο σύστημα, το σημείο βρίσκεται κάπου σε επίπεδο επίπεδο. Ωστόσο, ένα επίπεδο έχει μόνο μήκος και πλάτος, ενώ ένας τρισδιάστατος χώρος πρέπει επίσης να έχει ύψος ή βάθος. Σε αυτήν την περίπτωση μπορείτε να φανταστείτε το σημείο να είναι κάπου μέσα σε ένα ορθογώνιο κουτί.

Οι δύο πρώτες συντεταγμένες, x και y, προσδιορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα δισδιάστατο σύστημα. Αυτά περιγράφουν τη θέση του σημείου εάν προβάλλονταν προς τα κάτω (ή προς τα πάνω) σε ορθή γωνία στο επίπεδο x-y. Για να το κάνετε πιο εύκολο στην απεικόνιση, φανταστείτε να κρατάτε μια μπάλα στο χέρι σας, με το χέρι να απλώνεται στο ύψος των ώμων. Η μπάλα είναι το σημείο σας. Εάν ρίξετε την μπάλα, αναπηδά στο έδαφος, ακριβώς κάτω από τη θέση του χεριού σας. Εάν το έδαφος είναι το επίπεδο x-y, το σημείο στο οποίο αναπηδά η μπάλα είναι η συντεταγμένη του σημείου (x, y).

Το τρισδιάστατο σύστημα έχει επίσης έναν άξονα z, ο οποίος βρίσκεται κάθετος στο επίπεδο x-y. Η θέση πάνω από το έδαφος που κρατούσατε την μπάλα είναι η συντεταγμένη της z. Η προέλευση ενός τρισδιάστατου καρτεσιανού συστήματος είναι το σημείο στο οποίο τα x, y και z είναι όλα ίσα με το μηδέν (0,0,0).

Σε μαθηματικούς όρους, ένα σημείοΠσε ένα τυπικό τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.Πείναι ισοδύναμο με την μπάλα στο παράδειγμά μας.

Τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες

Είναι απίθανο να χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τα τρισδιάστατα καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στην καθημερινή ζωή, εκτός εάν ασχολείστε με τη μηχανική, τη φυσική, την αρχιτεκτονική ή άλλες εφαρμογές σχεδιασμού με τη βοήθεια υπολογιστή. Ωστόσο, είναι χρήσιμο να κατανοήσετε πώς λειτουργούν. Πολλά πακέτα τρισδιάστατων σχεδίων και σχεδίων που χρησιμοποιούνται στο σπίτι λειτουργούν με βάση αυτές τις αρχές, επομένως μια βασική γνώση της χωρικής γεωμετρίας είναι συχνά πολύτιμη για να τις χρησιμοποιήσετε με επιτυχία.


Εφαρμογές καρτεσιανών συντεταγμένων

Χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων κατά τη δημιουργία γραφημάτων αλγεβρικών εξισώσεων

Στα μαθηματικά, θα υπάρξουν στιγμές που είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε ένα γράφημα από μια αλγεβρική εξίσωση, για να κατανοήσουμε πλήρως και να ερμηνεύσουμε τα χαρακτηριστικά του. Μια εξίσωση με τη μορφή (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) ως συνάρτηση του (x )), μπορεί να σχεδιαστεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Για κάθε τιμή (x ), μπορείτε να καθορίσετε την τιμή του (y ) από την εξίσωση και επομένως κάθε σημείο στο γράφημα ( (x ), (y )) μπορεί να γραφτεί.

Το παρακάτω διάγραμμα απεικονίζει τη χαρακτηριστική καμπύλη της τετραγωνικής εξίσωσης

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

Γράφημα της εξίσωσης y = x ^ 2 + 9x + 20
Για περισσότερες πληροφορίες, ανατρέξτε στις σελίδες μαςΓραφήματα και γραφήματακαιΤετραγωνικές εξισώσεις.

Εφαρμογή καρτεσιανών συντεταγμένων στη χαρτογράφηση δεξιοτήτων ανάγνωσης

Φανταστείτε να λέει ένας φίλος

«Θα συναντηθούμε στο χώρο στάθμευσης στο B4437 και μετά θα περπατήσουμε στο χώρο για πικνίκ για μεσημεριανό γεύμα. Μπορούμε να οδηγήσουμε στην παμπ αργότερα. Είναι το δρόμο - αν φτάσετε στην εκκλησία έχετε πάει πολύ μακριά! '

Απλός χάρτης που δείχνει το Northings και Eastings να επιδεικνύει συντεταγμένες.

Η παραπάνω εικόνα δείχνει έναν απλοϊκό χάρτη της περιοχής.

Αυτές τις μέρες, μπορείτε να βρείτε τον δρόμο σας για σχεδόν οπουδήποτε, χάρη στη δορυφορική πλοήγηση και τις εφαρμογές για κινητά όπως οι Χάρτες Google. Ωστόσο, εξακολουθεί να είναι πολύ χρήσιμο να έχετε δεξιότητες ανάγνωσης χαρτών. Ενδέχεται να βρεθείτε σε μια κατάσταση όπου δεν υπάρχει σήμα κινητού ή η μπαταρία σας είναι άδεια.

Κάθε τύπος χάρτη θα έχεικλειδί, η οποία είναι μια λίστα με όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στον χάρτη και τι σημαίνουν, και ένα αριθμημένο πλέγμα, το οποίο είναι μοναδικό σε αυτήν την περιοχή. Η έρευνα Ordnance στο Ηνωμένο Βασίλειο είναι ένας από τους πιο γνωστούς παραγωγούς χαρτών στον κόσμο. Οποιαδήποτε τοποθεσία αντιστοιχίζεται από το λειτουργικό σύστημα έχει μια μοναδικήαναφορά πλέγματος, το οποίο είναισυντεταγμένες. Ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για έναν ανεμόμυλο στο Νόρφολκ ή για ένα σημείο τριγωνισμού σε ένα βουνό της Σκωτίας, μπορείτε να το βρείτε σε έναν χάρτη εάν έχετε την αναφορά του πλέγματος.

Οι συντεταγμένες στο χάρτη είναι είτε τετραψήφιες είτε εξαψήφιες αναφορές πλέγματος. Ο καρτεσιανός άξονας x αντικαθίσταται από τονανατολικάκαι τον άξονα y απόΒορρά. Οι συντεταγμένες ενός σημείου βρίσκονται με τον ίδιο τρόπο όπως σε ένα καρτεσιανό σύστημα -κατά μήκος του διαδρόμου και στις σκάλες!

ΠΡΟΣ ΤΗΝτετραψήφια αναφορά πλέγματοςδίνει το τετράγωνο στον χάρτη που περιέχει την τοποθεσία. Οι συντεταγμένες είναι το σημείο στην κάτω αριστερή γωνία του τετραγώνου. Για παράδειγμα, ο χώρος στάθμευσης αυτοκινήτων μπορεί να βρεθεί το 1947 και η παμπ στις 2145.

Τι γίνεται όμως αν χρειαζόμαστε μια πολύ πιο ακριβή περιγραφή της τοποθεσίας; Στο παράδειγμα, θα πρέπει να γνωρίζετε την ακριβή τοποθεσία του ιστότοπου για πικνίκ, καθώς απέχει λίγο από το χώρο στάθμευσης και το δρόμο. Χρειάζεστε μια εξαψήφια αναφορά πλέγματος σε αυτήν την περίπτωση.

ΠΡΟΣ ΤΗΝεξαψήφιο πλέγμα αναφοράςεπιτυγχάνεται με τη φαντασία ότι κάθε τετράγωνο του πλέγματος χωρίζεται σε δέκα υποδιαιρέσεις, όπως μονάδες σε ένα κομμάτι χαρτί γραφήματος. Η τετραψήφια πλέγμα αναφοράς για τον ιστότοπο για πικνίκ είναι 2048, αλλά προσθέτοντας τον αριθμό των δέκατων στα 20 και 48, μπορούμε να βρούμε μια πιο ακριβή περιγραφή της τοποθεσίας.

Κοιτάζοντας πρώτα τα ανατολικά, μπορείτε να δείτε ότι ο ιστότοπος για πικνίκ είναι λιγότερο από το μισό μεταξύ 20 και 21, το οποίο μπορείτε να υπολογίσετε ότι είναι περίπου 20,4 ή τέσσερα δέκατα από το 20. Τα τρία πρώτα ψηφία της αναφοράς πλέγματος σας είναι επομένως γραμμένο 203. Κοιτάζοντας τα βορρά, μπορείτε να δείτε ότι η τοποθεσία είναι περίπου το ένα τρίτο της διαδρομής μεταξύ 48 και 49, οπότε τα δύο τρία ψηφία είναι 483. Ο ιστότοπος για πικνίκ είναι λοιπόν στο 203483.

Προσπαθήστε να βρείτε το πλέγμα αναφοράς για την εκκλησία.

Η απάντηση είναι 218447.


συμπέρασμα

Η πιο σημαντική ιδιότητα ενός σημείου σε επιφάνεια ή σε τρισδιάστατο χώρο είναι η ακριβής του θέση. Αυτό μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας ένα σύστημα συντεταγμένων, όπως το καρτεσιανό σύστημα.

Η κατανόηση του τρόπου λειτουργίας των συστημάτων συντεταγμένων θα σας βοηθήσει μαθηματικά κατά τη σχεδίαση γραφημάτων και θα μπορούσε επίσης να σας αποτρέψει να χαθείτε εάν έχετε έναν χάρτη μαζί σας.


Συνέχισε να:
Πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες
Υπολογισμός περιοχής