Υπολογισμός περιοχής

Δείτε επίσης:Ιδιότητες πολυγώνων

Η περιοχή είναι ένα μέτρο του χώρου που υπάρχει μέσα σε ένα σχήμα. Ο υπολογισμός της επιφάνειας ενός σχήματος ή επιφάνειας μπορεί να είναι χρήσιμος στην καθημερινή ζωή - για παράδειγμα, ίσως χρειαστεί να ξέρετε πόση μπογιά να αγοράσετε για να καλύψετε έναν τοίχο ή πόσος σπόρος χόρτου χρειάζεστε για να σπείρετε ένα γκαζόν.

Αυτή η σελίδα καλύπτει τα βασικά στοιχεία που πρέπει να γνωρίζετε για να κατανοήσετε και να υπολογίσετε τις περιοχές κοινών σχημάτων, όπως τετράγωνα και ορθογώνια, τρίγωνα και κύκλους.

Υπολογισμός περιοχής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πλέγματος

Όταν σχεδιάζεται ένα σχήμα σε ένα κλιμακωτό πλέγμα, μπορείτε να βρείτε την περιοχή μετρώντας τον αριθμό των τετραγώνων πλέγματος μέσα στο σχήμα.

Αριθμημένο πλέγμα για τον υπολογισμό της περιοχής ενός σχήματος.

Σε αυτό το παράδειγμα υπάρχουν 10 τετράγωνα πλέγματος μέσα στο ορθογώνιο.


Για να βρούμε μια τιμή περιοχής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πλέγματος, πρέπει να γνωρίζουμε το μέγεθος που αντιπροσωπεύει ένα τετράγωνο πλέγματος.

Αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιεί εκατοστά, αλλά η ίδια μέθοδος ισχύει για οποιαδήποτε μονάδα μήκους ή απόστασης. Θα μπορούσατε, για παράδειγμα, να χρησιμοποιείτε ίντσες, μέτρα, μίλια, πόδια κ.λπ.

Χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα για τον υπολογισμό της περιοχής ενός σχήματος.

Σε αυτό το παράδειγμα κάθε τετράγωνο πλέγματος έχει πλάτος 1cm και ύψος 1cm. Με άλλα λόγια, κάθε τετράγωνο πλέγματος είναι ένα «τετραγωνικό εκατοστό».

Μετρήστε τα τετράγωνα πλέγματος μέσα στο μεγάλο τετράγωνο για να βρείτε την περιοχή του ..

Υπάρχουν 16 μικρά τετράγωνα, έτσι η έκταση της μεγάλης πλατείας είναι 16 τετραγωνικά εκατοστά.

Στα μαθηματικά συντομεύουμε τα «τετραγωνικά εκατοστά» σε cmδύο. οδύοσημαίνει «τετράγωνο».

Κάθε τετράγωνο πλέγματος είναι 1cmδύο.

Η έκταση της μεγάλης πλατείας είναι 16εκδύο.


Μετρώντας τετράγωνα σε ένα πλέγμα για να βρείτε την περιοχή λειτουργεί για όλα τα σχήματα - αρκεί να είναι γνωστά τα μεγέθη του πλέγματος.Ωστόσο, αυτή η μέθοδος γίνεται πιο δύσκολη όταν τα σχήματα δεν ταιριάζουν ακριβώς στο πλέγμα ή όταν πρέπει να μετρήσετε κλάσματα τετραγώνων πλέγματος.

Τετράγωνο πλέγμα 1cm για να βοηθηθεί ο υπολογισμός της περιοχής ενός σχήματος.

Σε αυτό το παράδειγμα το τετράγωνο δεν ταιριάζει ακριβώς στο πλέγμα.

Μπορούμε ακόμα να υπολογίσουμε την περιοχή μετρώντας τετράγωνα πλέγματος.

  • Υπάρχουν 25 πλήρη τετράγωνα πλέγματος (σκιασμένα με μπλε χρώμα).
  • 10 μισά τετράγωνα (σκιασμένα με κίτρινο χρώμα) - 10 μισά τετράγωνα είναι τα ίδια με 5 πλήρη τετράγωνα.
  • Υπάρχει επίσης 1 τετράγωνο τετράγωνο (σκιασμένο σε πράσινο) - (¼ ή 0,25 ολόκληρου τετραγώνου).
  • Προσθέστε όλα τα τετράγωνα και τα κλάσματα μαζί: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

Η έκταση αυτής της πλατείας είναι επομένως 30,25εκδύο.

Μπορείτε επίσης να το γράψετε ως 30¼cmδύο.


Αν και η χρήση ενός πλέγματος και η μέτρηση των τετραγώνων σε ένα σχήμα είναι ένας πολύ απλός τρόπος εκμάθησης των εννοιών της περιοχής, είναι λιγότερο χρήσιμο για την εύρεση ακριβών περιοχών με πιο περίπλοκα σχήματα, όταν μπορεί να υπάρχουν πολλά κλάσματα τετραγώνων πλέγματος για προσθήκη.

Η περιοχή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας απλούς τύπους, ανάλογα με τον τύπο του σχήματος με το οποίο εργάζεστε.

Το υπόλοιπο αυτής της σελίδας εξηγεί και δίνει παραδείγματα για τον τρόπο υπολογισμού της περιοχής ενός σχήματος χωρίς τη χρήση του συστήματος πλέγματος.


Περιοχές απλών τετραμερών:
Τετράγωνα και ορθογώνια και παραλληλόγραμμα

Οι απλούστεροι (και πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι) υπολογισμοί περιοχής είναι για τετράγωνα και ορθογώνια.

Για να βρείτε την περιοχή ενός ορθογωνίου, πολλαπλασιάστε το ύψος του με το πλάτος του.

Για ένα τετράγωνο χρειάζεται μόνο να βρείτε το μήκος μιας από τις πλευρές (καθώς κάθε πλευρά έχει το ίδιο μήκος) και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε αυτό από μόνο του για να βρείτε την περιοχή. Αυτό είναι το ίδιο με το μήκος λέγονταςδύοή μήκος τετράγωνο.

Είναι καλή πρακτική να ελέγχετε ότι ένα σχήμα είναι στην πραγματικότητα ένα τετράγωνο μετρώντας δύο πλευρές. Για παράδειγμα, ο τοίχος ενός δωματίου μπορεί να μοιάζει με ένα τετράγωνο, αλλά όταν το μετράτε, θα βρείτε στην πραγματικότητα ένα ορθογώνιο.

Διάγραμμα που δείχνει τον τρόπο υπολογισμού της περιοχής των τετραγώνων και των ορθογωνίων.

Συχνά, στην πραγματική ζωή, τα σχήματα μπορεί να είναι πιο περίπλοκα. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι θέλετε να βρείτε την επιφάνεια ενός δαπέδου, ώστε να μπορείτε να παραγγείλετε το σωστό χαλί.

Μια τυπική κάτοψη δωματίου δεν μπορεί να αποτελείται από ένα απλό ορθογώνιο ή τετράγωνο:

Διάγραμμα για να δείξετε πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια ενός δωματίου με περίεργο σχήμα.

Σε αυτό το παράδειγμα, και σε άλλα παραδείγματα, το κόλπο είναι να χωριστεί το σχήμα σε διάφορα ορθογώνια (ή τετράγωνα). Δεν έχει σημασία πώς διαχωρίζετε το σχήμα - οποιαδήποτε από τις τρεις λύσεις θα οδηγήσει στην ίδια απάντηση.

Οι λύσεις 1 και 2 απαιτούν να δημιουργήσετε δύο σχήματα και να προσθέσετε τις περιοχές τους μαζί για να βρείτε τη συνολική έκταση.

Για τη λύση 3 δημιουργείτε ένα μεγαλύτερο σχήμα (Α) και αφαιρείτε το μικρότερο σχήμα (Β) από αυτό για να βρείτε την περιοχή.


Ένα άλλο κοινό πρόβλημα είναι να βρείτε την περιοχή ενός περιγράμματος - ένα σχήμα μέσα σε ένα άλλο σχήμα.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει μια διαδρομή γύρω από ένα πεδίο - το μονοπάτι έχει πλάτος 2 μέτρα.

Και πάλι, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να επεξεργαστείτε την περιοχή της διαδρομής σε αυτό το παράδειγμα.

Θα μπορούσατε να δείτε τη διαδρομή ως τέσσερα ξεχωριστά ορθογώνια, να υπολογίσετε τις διαστάσεις τους και μετά την περιοχή τους και τελικά να προσθέσετε τις περιοχές μαζί για να δώσετε ένα σύνολο.

Ένας γρηγορότερος τρόπος θα ήταν να επεξεργαστείτε την περιοχή ολόκληρου του σχήματος και την περιοχή του εσωτερικού ορθογωνίου. Αφαιρέστε την εσωτερική ορθογώνια περιοχή από το σύνολο αφήνοντας την περιοχή της διαδρομής.

Διάγραμμα που δείχνει πώς να υπολογίσετε την περιοχή του περιγράμματος ενός σχήματος.
  • Η επιφάνεια ολόκληρου του σχήματος είναι 16m × 10m = 160mδύο.
  • Μπορούμε να επεξεργαστούμε τις διαστάσεις του μεσαίου τμήματος επειδή γνωρίζουμε ότι η διαδρομή γύρω από την άκρη έχει πλάτος 2 μέτρα.
  • Το πλάτος ολόκληρου του σχήματος είναι 16m και το πλάτος της διαδρομής σε ολόκληρο το σχήμα είναι 4m (2m στα αριστερά του σχήματος και 2m στα δεξιά). 16μ - 4μ = 12μ
  • Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για το ύψος: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Υπολογίσαμε λοιπόν ότι το μεσαίο ορθογώνιο είναι 12m × 6m.
  • Το εμβαδόν του μεσαίου ορθογωνίου είναι επομένως: 12m × 6m = 72mδύο.
  • Τέλος παίρνουμε την περιοχή του μεσαίου ορθογωνίου μακριά από την περιοχή ολόκληρου του σχήματος. 160 - 72 = 88μδύο.

Η περιοχή του μονοπατιού είναι 88μδύο.


ΠΡΟΣ ΤΗΝπαραλληλόγραμμοείναι ένα τετράπλευρο σχήμα με δύο ζεύγη πλευρών με ίσο μήκος - εξ ορισμού ένα ορθογώνιο είναι ένας τύπος παραλληλόγραμμου. Ωστόσο, οι περισσότεροι άνθρωποι τείνουν να σκέφτονται τα παραλληλόγραμμα ως τετράπλευρα σχήματα με γωνιακές γραμμές, όπως φαίνεται εδώ.

Υπολογισμός της περιοχής ενός παραλληλόγραμμου.

Η περιοχή ενός παραλληλογράμματος υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως για ένα ορθογώνιο (ύψος × πλάτος), αλλά είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι το ύψος δεν σημαίνει το μήκος των κατακόρυφων (ή εκτός κάθετων) πλευρών αλλά την απόσταση μεταξύ των πλευρών.

Από το διάγραμμα μπορείτε να δείτε ότι το ύψος είναι η απόσταση μεταξύ της επάνω και της κάτω πλευράς του σχήματος - όχι το μήκος της πλευράς.

Σκεφτείτε μια φανταστική γραμμή, σε ορθή γωνία, μεταξύ της επάνω και της κάτω πλευράς. Αυτό είναι το ύψος.


Περιοχές των Τριγώνων

Μπορεί να είναι χρήσιμο να σκεφτείτε ένα τρίγωνο ως μισό τετράγωνο ή παραλληλόγραμμο.

Ένα τρίγωνο είναι μισό τετράγωνο ή ορθογώνιο.

Υποθέτοντας ότι γνωρίζετε (ή μπορείτε να μετρήσετε) τις διαστάσεις ενός τριγώνου, τότε μπορείτε να επεξεργαστείτε γρήγορα την περιοχή του.

Η επιφάνεια ενός τριγώνου είναι (ύψος × πλάτος) ÷ 2.

Με άλλα λόγια, μπορείτε να επεξεργαστείτε την περιοχή ενός τριγώνου με τον ίδιο τρόπο όπως η περιοχή για ένα τετράγωνο ή παραλληλόγραμμο και, στη συνέχεια, διαιρέστε την απάντησή σας με το 2.

Το ύψος ενός τριγώνου μετριέται ως μια ορθογώνια γραμμή από την κάτω γραμμή (βάση) έως την «κορυφή» (άνω σημείο) του τριγώνου.

Ορίστε μερικά παραδείγματα:

Υπολογισμός της περιοχής ενός τριγώνου

Η περιοχή των τριών τριγώνων στο παραπάνω διάγραμμα είναι η ίδια.

Κάθε τρίγωνο έχει πλάτος και ύψος 3 εκατοστά.

Η περιοχή υπολογίζεται:

(ύψος × πλάτος) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4.5

Η επιφάνεια κάθε τριγώνου είναι 4,5 εκατοστάδύο.


Σε πραγματικές καταστάσεις μπορεί να αντιμετωπίσετε ένα πρόβλημα που απαιτεί να βρείτε την περιοχή ενός τριγώνου, όπως:

Θέλετε να βάψετε το αέτωμα του αχυρώνα. Θέλετε να επισκεφτείτε το κατάστημα διακόσμησης μόνο μία φορά για να πάρετε τη σωστή ποσότητα χρώματος. Ξέρετε ότι ένα λίτρο βαφής θα καλύψει 10 μέτραδύοτοίχου. Πόσο χρώμα χρειάζεστε για να καλύψετε το άκρο του αετώματος;

Άκρο αετώματος (τρίγωνο)

Χρειάζεστε τρεις μετρήσεις:

A - Το συνολικό ύψος στην κορυφή της οροφής.

B - Το ύψος των κάθετων τοιχωμάτων.

Γ - Το πλάτος του κτιρίου.

Σε αυτό το παράδειγμα οι μετρήσεις είναι:

Α - 12,4μ

Β - 6,6μ

C - 11,6μ

Το επόμενο στάδιο απαιτεί μερικούς επιπλέον υπολογισμούς. Σκεφτείτε το κτίριο ως δύο σχήματα, ένα ορθογώνιο και ένα τρίγωνο. Από τις μετρήσεις που έχετε, μπορείτε να υπολογίσετε τις πρόσθετες μετρήσεις που απαιτούνται για να υπολογίσετε την περιοχή του άκρου του αετώματος.

Χωρίστε το σύνθετο σχήμα σε απλά σχήματα για να υπολογίσετε την περιοχή

Μέτρηση D = 12,4 - 6,6

D = 5,8μ

Τώρα μπορείτε να επεξεργαστείτε την περιοχή των δύο τμημάτων του τοίχου:

Εμβαδό του ορθογώνιου τμήματος του τοίχου: 6,6 × 11,6 = 76,56μδύο

Εμβαδό του τριγωνικού τμήματος του τοίχου: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64μδύο

Προσθέστε αυτές τις δύο περιοχές μαζί για να βρείτε τη συνολική έκταση:

76,56 + 33,64 = 110,2μδύο

Όπως γνωρίζετε ότι ένα λίτρο βαφής καλύπτει 10 μέτραδύοτοίχου, ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε πόσα λίτρα πρέπει να αγοράσουμε:

110,2 ÷ 10 = 11,02 λίτρα.

Στην πραγματικότητα μπορεί να διαπιστώσετε ότι το χρώμα πωλείται μόνο σε δοχεία των 5 λίτρων ή 1 λίτρου, το αποτέλεσμα είναι λίγο πάνω από 11 λίτρα. Μπορεί να μπείτε στον πειρασμό να στρογγυλοποιήσετε στα 11 λίτρα, αλλά, αν υποθέσουμε ότι δεν αδειάζουμε το χρώμα, αυτό δεν θα είναι αρκετό. Έτσι, πιθανότατα θα στρογγυλοποιήσετε στο επόμενο ολόκληρο λίτρο και θα αγοράσετε δύο δοχεία των 5 λίτρων και δύο δοχεία των 1 λίτρων κάνοντας συνολικά 12 λίτρα βαφής. Αυτό θα επιτρέψει τυχόν σπατάλη και θα αφήσει περισσότερο από ένα λίτρο που θα απομείνει για να φτάσει αργότερα. Και μην ξεχνάτε, εάν πρέπει να εφαρμόσετε περισσότερες από μία στρώσεις βαφής, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ποσότητα χρώματος για ένα στρώμα με τον αριθμό των απαιτούμενων στρώσεων!


Περιοχές των κύκλων

Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός κύκλου, πρέπει να γνωρίζετεδιάμετροςήακτίνα κύκλου.

Διάμετρος και ακτίνα ενός κύκλου

οδιάμετροςενός κύκλου είναι το μήκος μιας ευθείας γραμμής από τη μία πλευρά του κύκλου στην άλλη που διέρχεται από το κεντρικό σημείο του κύκλου. Η διάμετρος είναι διπλάσια από το μήκος της ακτίνας (διάμετρος = ακτίνα × 2)

οακτίνα κύκλουενός κύκλου είναι το μήκος μιας ευθείας γραμμής από το κεντρικό σημείο του κύκλου έως την άκρη του. Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου. (ακτίνα = διάμετρος ÷ 2)

Μπορείτε να μετρήσετε τη διάμετρο ή την ακτίνα σε οποιοδήποτε σημείο γύρω από τον κύκλο - το σημαντικό είναι να μετρήσετε χρησιμοποιώντας μια ευθεία γραμμή που περνά μέσω (διάμετρος) ή τελειώνει (ακτίνα) στο κέντρο του κύκλου.

Στην πράξη, όταν μετράτε κύκλους είναι συχνά πιο εύκολο να μετρήσετε τη διάμετρο και στη συνέχεια διαιρέστε με 2 για να βρείτε την ακτίνα.

Χρειάζεστε την ακτίνα για να επεξεργαστείτε την περιοχή ενός κύκλου, ο τύπος είναι:

περιοχή κύκλου = & pi; Rδύο.

Αυτό σημαίνει:

&πι; = Το Pi είναι μια σταθερά που ισούται με 3,142.

R = είναι η ακτίνα του κύκλου.

Ρδύο(ακτίνα τετράγωνο) σημαίνει ακτίνα × ακτίνα.


Επομένως ακύκλος με ακτίνα 5cmέχει έκταση:

3,142 × 5 × 5 = 78,55 εκδύο.

ΠΡΟΣ ΤΗΝκύκλος με διάμετρο 3mέχει μια περιοχή:

Πρώτα, επεξεργαζόμαστε την ακτίνα (3m ÷ 2 = 1,5m)

Στη συνέχεια, εφαρμόστε τον τύπο:

& pi; Rδύο

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

Η επιφάνεια ενός κύκλου με διάμετρο 3m είναι 7,0695mδύο.


Τελικό παράδειγμα

Αυτό το παράδειγμα αντλεί μεγάλο μέρος του περιεχομένου αυτής της σελίδας για την επίλυση απλών προβλημάτων περιοχής.

Υπολογισμός περιοχής - Παράδειγμα Bloomington Benjamin House.

Αυτό είναι τοRuben M. Benjamin Houseστο Bloomington Illinois, που αναφέρεται στο Εθνικό Μητρώο Ιστορικών Χώρων των Ηνωμένων Πολιτειών (Αριθμός εγγραφής: 376599).

Αυτό το παράδειγμα περιλαμβάνει την εύρεση της περιοχής του μπροστινού σπιτιού, του ξύλινου τμήματος - εκτός από την πόρτα και τα παράθυρα. Οι μετρήσεις που χρειάζεστε είναι:

Α - 9,7μ Β - 7,6μ
C - 8,8μ D - 4,5μ
Ε - 2.3μ F - 2,7μ
G - 1,2μ Χ - 1,0μ

Σημειώσεις:

  • Όλες οι μετρήσεις είναι κατά προσέγγιση.
  • Δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τα σύνορα γύρω από το σπίτι - αυτό δεν έχει συμπεριληφθεί στις μετρήσεις.
  • Υποθέτουμε ότι όλα τα ορθογώνια παράθυρα έχουν το ίδιο μέγεθος.
  • Η μέτρηση του στρογγυλού παραθύρου είναι η διάμετρος του παραθύρου.
  • Η μέτρηση της πόρτας περιλαμβάνει τα σκαλοπάτια.

Ποια είναι η περιοχή του ξύλινου τμήματος του σπιτιού;

Λειτουργίες και απαντήσεις παρακάτω:



Απαντήσεις στο παραπάνω παράδειγμα

Πρώτα, επεξεργαστείτε την περιοχή του κύριου σχήματος του σπιτιού - δηλαδή το ορθογώνιο και το τρίγωνο που αποτελούν το σχήμα.

Το κύριο ορθογώνιο (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88μδύο.

Το ύψος του τριγώνου είναι (A - B) 9,7 - 7,6 = 2.1.

Η περιοχή του τριγώνου είναι επομένως (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24μδύο.

Η συνδυασμένη πλήρης επιφάνεια του μπροστινού σπιτιού είναι το άθροισμα των περιοχών του ορθογωνίου και του τριγώνου:

66,88 + 9,24 = 76,12μδύο.

Στη συνέχεια, επεξεργαστείτε τις περιοχές των παραθύρων και των θυρών, ώστε να μπορούν να αφαιρεθούν από την πλήρη περιοχή.

Η επιφάνεια της πόρτας και τα σκαλοπάτια είναι (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35mδύο.

Η επιφάνεια ενός ορθογώνιου παραθύρου είναι (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24mδύο.

Υπάρχουν πέντε ορθογώνια παράθυρα. Πολλαπλασιάστε την περιοχή ενός παραθύρου με 5.

3,24 × 5 = 16,2μ2. (η συνολική επιφάνεια των ορθογώνιων παραθύρων).

Το στρογγυλό παράθυρο έχει διάμετρο 1 μ. Η ακτίνα του είναι συνεπώς 0,5 μ.

Χρησιμοποιώντας & pi; Rδύο, επεξεργαστείτε την περιοχή του στρογγυλού παραθύρου: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855μδύο.

Στη συνέχεια προσθέστε τις περιοχές της πόρτας και των παραθύρων.

(περιοχή πόρτας) 10,35 + (ορθογώνια περιοχή παραθύρων) 16,2 + (στρογγυλή περιοχή παραθύρων) 0,7855 = 27,3355

Τέλος, αφαιρέστε τη συνολική επιφάνεια για τα παράθυρα και τις πόρτες από την πλήρη περιοχή.

76.12 - 27.3355 = 48.7845

Η έκταση του ξύλινου μετωπική πρόσοψη του σπιτιού, και η απάντηση στο πρόβλημα είναι: 48.7845μδύο.

Ίσως θελήσετε να ολοκληρώσετε την απάντηση στα 48,8μδύοή 49μδύο.

Δείτε τη σελίδα μας στοΕκτίμηση, προσέγγιση και στρογγυλοποίηση.

Συνέχισε να:
Φύλλο αναφοράς περιοχής, επιφάνειας και όγκου

Υπολογισμός όγκου