Κυρτές μορφές

Δείτε επίσης:Πολύγωνα

Κύκλοι, ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές

Η σελίδα μας στοΠολύγωνακαλύπτει σχήματα κατασκευασμένα με ευθείες γραμμές, επίσης γνωστά ως «σχήματα επίπεδου». Αυτή η σελίδα εξηγεί περισσότερα σχετικά με σχήματα με καμπύλες, ειδικά δισδιάστατα.

Τα δισδιάστατα καμπύλα σχήματα περιλαμβάνουν κύκλους, ελλείψεις, παραβολές και υπερβολικά, καθώς και τόξα, τομείς και τμήματα. Τρισδιάστατα καμπύλα σχήματα, συμπεριλαμβανομένων σφαιρών, κυλίνδρων και κώνων, καλύπτονται στη σελίδα μας στοΤρισδιάστατα σχήματα.

Δισδιάστατα καμπύλα σχήματα

Ιδιότητες ενός κύκλου. Περιφέρεια, διάμετρος και ακτίνα.

Κύκλους

Ίσως το πιο κοινό δισδιάστατο καμπύλο σχήμα είναι ένας κύκλος.

Για να συνεργαστείτε με κύκλους (και άλλα καμπύλα σχήματα) στη γεωμετρία, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τις βασικές ιδιότητες ενός κύκλου:

  • Μια γραμμή ευθεία στο κέντρο ενός κύκλου είναι ηδιάμετρος.

  • Το ήμισυ της διαμέτρου είναι τοακτίνα κύκλου.

  • Η γραμμή γύρω από την άκρη ενός κύκλου είναι ηπεριφέρεια.

Οποιοδήποτε σημείο στην περιφέρεια ενός κύκλου είναι ακριβώς η ίδια απόσταση από το κέντρο του κύκλου με οποιοδήποτε άλλο σημείο στην περιφέρεια.

Παρουσιάζοντας π (pi)


Το π ή pi είναι ελληνικό γράμμα. Στα μαθηματικά, χρησιμοποιείται για να αντιπροσωπεύει μια συγκεκριμένη σταθερά, η οποία είναι επίσης ένας παράλογος ή άπειρος αριθμός (δείτε τη σελίδα μας στοΕιδικοί αριθμοίγια περισσότερα).

Το π έχει τιμή 3,142 (παρόλο που είναι άπειρο, αυτό είναι μια προσέγγιση της ακριβούς τιμής του).


Το π είναι σημαντικό επειδή χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της περιφέρειας και της περιοχής ενός κύκλου.

Η περιφέρεια ενός κύκλου ισούται με διάμετρο π x ή ακτίνα 2 × π × (συντετμημένη σε 2πr).

Η περιοχή ενός κύκλου ισούται με ακτίνα π ×δύο. Αυτός ο τύπος συνήθως συντομεύεται σε πrδύο

Για περισσότερα σχετικά με την περιοχή, δείτε τη σελίδα μαςΥπολογισμός περιοχής.

Τομείς και τμήματα

Οι τομείς και τα τμήματα είναι «φέτες» ενός κύκλου.

Τομείςέχουν σχήμα πίτσας, με καμπύλη άκρη και κάθε ευθεία πλευρά το ίδιο μήκος με την ακτίνα του κύκλου, ή πίτσα, από την οποία κόπηκε. Τα γραφήματα πίτας αποτελούνται από έναν αριθμό τομέων που σχετίζονται με το μέγεθος με τα δεδομένα που δείχνουν.

Ένας τομέας μπορεί να έχει οποιοδήποτε μέγεθος, ωστόσο ένας τομέας με μισό κύκλο (180 °) ονομάζεται aημικύκλιο, ενώ ο τομέας του τετάρτου κύκλου (90 °) ονομάζεται aτεταρτοκύκλιο.

ΠΡΟΣ ΤΗΝτμήμαείναι το καμπύλο τμήμα ενός τομέα, το τμήμα που απομένει εάν αφαιρέσετε το τρίγωνο από έναν τομέα. Τα τμήματα αποτελούνται από δύο γραμμές. οτόξο(ένα τμήμα της περιφέρειας του κύκλου - δείτε παρακάτω) και aχορδή- η ευθεία γραμμή που ενώνει τα δύο άκρα του τόξου.

Τομείς κύκλων συμπεριλαμβανομένων των ημικύκλων (ημικύκλια) και των τεταρτημορίων (τετράκυκλοι). Τμήματα ενός κύκλου, χορδής και τόξου.

Ένας τομέας είναι ένα κλάσμα ενός κύκλου και επομένως η έκτασή του είναι ένα κλάσμα της περιοχής ολόκληρου του κύκλου. Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τομέα πρέπει να γνωρίζετε την κεντρική του γωνία, θ και την ακτίνα.

Η περιοχή ενός τομέα μπορεί στη συνέχεια να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

πρδύο× (θ÷360)

Τόξα

Μήκος τόξου κύκλου. 2πr × (θ ÷ 360)

Ένα τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου ονομάζεταιτόξο.

Για να υπολογίσετε το μήκος ενός τόξου μεταξύ των σημείων Α και Β, πρέπει να γνωρίζετε ότι η γωνία στο κέντρο μεταξύ των σημείων Α και Β. Θ (θήτα) είναι το σύμβολο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αυτής της γωνίας υπό την Α και Β. Στο παράδειγμά μας, χρησιμοποιούμε μοίρες για θ, αλλά είναι επίσης δυνατό να χρησιμοποιήσουμε ακτίνια.

Πρέπει επίσης να γνωρίζετε την ακτίνα (r) του τόξου.

Καθώς υπάρχουν 360 ° σε ολόκληρο τον κύκλο, το μήκος του τόξου ισούται με την κεντρική γωνία (θ) διαιρούμενη με 360, κατόπιν πολλαπλασιάζεται με την περιφέρεια ολόκληρου του κύκλου (2πr).

2πr × (θ÷360)

Παράδειγμα:

r = 10cm, θ = 88°, π = 3.14

Μήκος τόξου =2 x 3,14 x 10 x (88 ÷ 360) = 62,8 × 0,24 =15,07 εκ.

Βαθμοί ή ακτίνες;


Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μονάδα μέτρησης για γωνίες είναι μοίρες, αλλά μπορεί επίσης να συναντήσετε υπολογισμούς όπου η γωνία μετριέται σε ακτίνια. Αυτή είναι η τυπική μονάδα SI για τις γωνίες μέτρησης και για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τα ακτίνια, δείτε τοΕισαγωγή στις γωνίεςσελίδα. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το σύστημα μέτρησης SI, ανατρέξτε στη σελίδα μας στοΣυστήματα μέτρησης.

Τα ακτίνια 2π είναι 360 °, οπότε ο τύπος για το μήκος τόξου όταν το θ είναι σε ακτίνια είναι απλά rθ.


Ελλείψεις

Η έλλειψη είναι μια καμπύλη σε επίπεδο (ή επίπεδη επιφάνεια) που περιβάλλει δύο εστιακά σημεία. Μια ευθεία γραμμή που σχεδιάζεται από ένα σημείο εστίασης σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης και στη συνέχεια προς το άλλο σημείο εστίασης έχει το ίδιο μήκος για κάθε σημείο της καμπύλης.

Οι ελλείψεις είναι πολύ σημαντικές στην αστρονομία και τη φυσική, καθώς κάθε πλανήτης έχει ελλειπτική τροχιά με τον ήλιο ως ένα από τα σημεία εστίασης.

Ένας κύκλος είναι μια συγκεκριμένη μορφή έλλειψης, όπου τα δύο εστιακά σημεία βρίσκονται στο ίδιο σημείο (στο κέντρο του κύκλου). Οι ελλείψεις μπορούν επίσης να περιγραφούν ως «ωοειδές», αλλά η λέξη «ωοειδές» είναι πολύ λιγότερο ακριβής στα μαθηματικά και σημαίνει απλά «γενικά σχήμα αυγού»

Ιδιότητες μιας έλλειψης. Το διάγραμμα περιλαμβάνει κύριο και δευτερεύοντα άξονα με κορυφές και σημεία εστίασης.

Ιδιότητες μιας έλλειψης:

Μια έλλειψη έχει δύο κύριους άξονες και είναι συμμετρική γύρω τους.

Ο μακρύτερος άξονας ονομάζεταικύριος άξονας; ο κοντύτερος άξονας είναι τοδευτερεύων άξονας.

Τα τέσσερα σημεία όπου οι άξονες διασχίζουν την περιφέρεια ονομάζονταικορυφές(μοναδική κορυφή). Τα δύο σημεία όπου ο δευτερεύων άξονας διασχίζει την περιφέρεια ονομάζονταισυν-κορυφές.

Τα δύοεστιακά σημεία(ή εστίες, που μερικές φορές ονομάζονται locus ή loci) βρίσκονται και οι δύο στον κύριο άξονα και απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο.

Η απόσταση από το ένα σημείο εστίασης σε οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας και πίσω από το άλλο σημείο εστίασης (η μπλε διακεκομμένη γραμμή στο διάγραμμα μας) είναι η ίδια με το μήκος μεταξύ των κορυφών στον κύριο άξονα.

Ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης ορίζεται από τοεκκεντρικότητα. Ο τύπος για τον υπολογισμό της εκκεντρότητας είναι:

Εκκεντρικότητα = απόσταση από το κέντρο έως το σημείο εστίασης
απόσταση από κέντρο προς κορυφή στον κύριο άξονα

Η εκκεντρότητα ενός κύκλου είναι μηδέν, επειδή τα εστιακά σημεία είναι ακριβώς στην ίδια θέση (το κέντρο) (λέμε επίσης ότι είναισυμπίπτων). Η απόσταση από το κέντρο έως το σημείο εστίασης είναι επομένως μηδενική. Η εκκεντρότητα αυξάνεται καθώς η έλλειψη μεγαλώνει, αλλά είναι πάντα μικρότερη από 1. Όταν η απόσταση από το κέντρο έως το σημείο εστίασης είναι η ίδια με την απόσταση από το κέντρο έως την κορυφή, τότε η έλλειψη έχει γίνει μια ευθεία γραμμή και η εκκεντρότητά της ισούται με 1.

Η περιοχή μιας έλλειψης υπολογίζεται ως π (minor x δευτερεύων άξονας) (½ x κύριος άξονας).


Parabolas, Hyperbolas και η σχέση μεταξύ καμπύλων σχημάτων

Οι παραβολές και οι υπερβολές είναι περισσότερες μορφές κυρτών σχημάτων, αλλά είναι πιο περίπλοκες στον ορισμό από τους κύκλους και τις ελλείψεις. Συνδέονται στενά μεταξύ τους και με κύκλους και ελλείψεις, επειδή είναι όλακωνικά τμήματα, δηλαδή σχήματα που σχηματίζονται με τεμαχισμό ενός κώνου με επίπεδο επίπεδο.

Τα χαρακτηριστικά των κωνικών τμημάτων έχουν μελετηθεί εδώ και χιλιετίες και αποτέλεσαν αντικείμενο ενδιαφέροντος για αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει έναν διπλό κώνο, μάλλον σαν ένα χρονόμετρο με άμμο.

  • Εάν το επίπεδο κόβει τον κώνο σε γωνία παράλληλη προς τη βάση του κώνου (δηλαδή κάθετα στον κατακόρυφο άξονα του), τότεκύκλοςσχηματίζεται (πάνω αριστερά).

  • Εάν το επίπεδο κόβει τον κώνοπαράλληλα με την πλευρά του κώνου, μετά έναδορυφορικό πιάτοσχηματίζεται (κέντρο).

  • Εάν το επίπεδο κόβει τον κώνο υπό γωνία μεταξύ αυτών των δύο, έτσι ώστε να διατηρεί επαφή με τις πλευρές του κώνου σε όλες τις θέσεις, τότεέλλειψησχηματίζεται (κάτω αριστερά).

  • Εάν το επίπεδο κόβει και τους δύο κώνους σε πιο κατακόρυφη γωνία, τότε το τμήμα είναι αυπερβολή.

Οι παραβολές και οι υπερβολές είναι αμφότερες συμμετρικές καμπύλες με έναν μόνο άξονα συμμετρίας και aκορυφή(χαμηλότερο σημείο του σχήματος u της καμπύλης).

Όλες οι παραβολές έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό σχήμα, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλες είναι.Καθώς σμικρύνετε όλο και περισσότερο από την κορυφή προς το άπειρο, η παραβολή αλλάζει από σχήμα μπολ σε σχήμα φουρκέτας, με τα χέρια του να γίνονται πιο κοντά και πιο κοντά στο παράλληλο.

Σε αντίθεση με τις παραβολές,Τα υπερβολικά σχήματα μπορεί να είναι διαφορετικά σχήματα, επειδή η γωνία της κοπής μπορεί να διαφέρει πολύ. Τόσο οι παραβολές όσο και οι υπερβολές είναι άπειρες, αλλά τα χέρια μιας υπερβολής δεν γίνονται παράλληλα.

Κωνικές ενότητες. Πώς μπορεί να κοπεί ένας κώνος για να παραχθεί, ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια παραβολή ή μια υπερβολή.

Εφαρμογές κωνικών τμημάτων σε πραγματικό κόσμο


Υπάρχουν πολλές πραγματικές εφαρμογές κωνικών τμημάτων.

  • Χρησιμοποιούνται σε φακούς για τηλεσκόπια και οι ανακλαστήρες σε προβολείς ή προβολείς για τη δημιουργία δέσμης φωτός.
  • Τα πολύπλοκα μαθηματικά που σχετίζονται με αυτά τα σχήματα είναι ζωτικής σημασίας για τον υπολογισμό των τροχιών των δορυφόρων.
  • Στη μηχανική, τα καλώδια στη Γέφυρα Golden Gate έχουν σχήμα τέλειων παραβολών και τα αεροπλάνα στα αεροσκάφη βασίζονται σε ελλείψεις.
  • Στα αθλήματα, το τόξο που ακολουθείται από μια μπάλα ποδοσφαίρου, μπέιζμπολ ή κρίκετ είναι επίσης μια παραβολή, οπότε η κατανόηση των κωνικών τμημάτων είναι ζωτικής σημασίας για την ανάλυση της απόδοσης των παικτών - όλο και πιο σημαντική με τα χρήματα που επενδύονται σε επαγγελματικά αθλήματα.
  • Η οργανική μορφή αυτών των σχημάτων τα προσδίδει επίσης στις τέχνες και στην αρχιτεκτονική. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το Cybertecture Egg στη Βομβάη, το Gateway Arch στο Μιζούρι και πολλά έργα καλλιτεχνών γλυπτών, όπως το Richard Serra's Torqued Ellipses στο μουσείο Guggenheim.

Δεξιότητες που χρειάζεστε;

Οι κύκλοι αποτελούν μέρος της βασικής γεωμετρίας και πρέπει πραγματικά να γνωρίζετε πώς να υπολογίζετε τις βασικές ιδιότητές τους.

Ωστόσο, είναι μάλλον απίθανο να χρειαστεί να κάνετε περισσότερα από το να γνωρίζετε την ύπαρξη των άλλων σχημάτων, εκτός εάν επιθυμείτε να ασχοληθείτε σοβαρά με τη μηχανική, τη φυσική ή την αστρονομία.

Τούτου λεχθέντος, μπορεί να διαπιστώσετε ότι εκτιμάτε ότι γνωρίζετε ότι οι κοίλες καμπύλες ενός πύργου ψύξης σταθμών παραγωγής ενέργειας, ή το φως από μια λάμπα αλογόνου που δείχνει προς τα κάτω, έχουν σχήμα υπερβολής.

Συνέχισε να:
Υπολογισμός περιοχής
Τρισδιάστατα σχήματα