Εισαγωγή στην Άλγεβρα

Δείτε επίσης:Ορισμός θεωρίας

Πολλοί πιστεύουν ότιεξισώσειςκαιάλγεβραείναι πέρα ​​από αυτά - η σκέψη ότι πρέπει να δουλέψεις με εξισώσεις τους γεμίζει με φόβο. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να φοβάστε τις εξισώσεις.

Τα καλά νέα είναι ότι οι εξισώσεις είναι στην πραγματικότητα σχετικά απλές έννοιες και με λίγη πρακτική και την εφαρμογή ορισμένων απλών κανόνων, μπορείτε να μάθετε να τα χειρίζεστε και να τα λύνετε.

Αυτή η σελίδα έχει σχεδιαστεί για να σας παρουσιάσει τα βασικά της άλγεβρας, ελπίζοντας ότι θα σας κάνει να νιώσετε πιο άνετα λύνοντας απλές εξισώσεις.

Τι είναι μια εξίσωση;


Μια εξίσωση είναι δύο εκφράσεις και στις δύο πλευρές ενός συμβόλου που δείχνει τη σχέση τους.

Αυτή η σχέση μπορεί να είναι ίση με (=), μικρότερη από () ή κάποιο συνδυασμό. Για παράδειγμα, λιγότερο από ή ίσο με (≤) ή ακόμη και όχι ίσο με (≠) ή περίπου ίσο με (≈) Αυτά είναι γνωστά ωςισότητασύμβολα.

Οι απλές εξισώσεις περιλαμβάνουν επομένως 2 + 2 = 4 και 5 + 3> 3 + 4.

Ωστόσο, όταν οι περισσότεροι άνθρωποι μιλούν για εξισώσεις, εννοούν αλγεβρικές εξισώσεις.

Αυτές είναι εξισώσεις που περιλαμβάνουν γράμματα καθώς και αριθμούς. Τα γράμματα χρησιμοποιούνται για να αντικαταστήσουν μερικούς από τους αριθμούς όπου μια αριθμητική έκφραση θα ήταν πολύ περίπλοκη ή όπου θέλετε να γενικεύσετε αντί να χρησιμοποιήσετε συγκεκριμένους αριθμούς.Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν όταν γνωρίζετε τις τιμές σε μέρος της εξίσωσης, αλλά άλλες είναι άγνωστες και πρέπει να τις επεξεργαστείτε.

Οι αλγεβρικές εξισώσεις επιλύονται με την επεξεργασία των αριθμών που αντιπροσωπεύουν τα γράμματα.

Μπορούμε να μετατρέψουμε τις δύο απλές εξισώσεις παραπάνω σε αλγεβρικές εξισώσεις αντικαθιστώντας το (x ) με έναν από τους αριθμούς:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Γνωρίζουμε ότι 2 + 2 = 4, που σημαίνει ότι (x ) πρέπει να ισούται με το 4. Η λύση στην εξίσωση είναι επομένως ( boldsymbol {x} ) = 4.

5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )

Γνωρίζουμε ότι 5 + 3 = 8. Η εξίσωση μας λέει ότι το 8 είναι μεγαλύτερο από (>) 3 + (x ).

Εμείς πρέπει νατακτοποιώη εξίσωση έτσι ώστε το (x ) είναι από τη μία πλευρά και όλοι οι αριθμοί είναι στην άλλη, διαφορετικά δεν μπορούμε να βρούμε την τιμή του (x ). Ο κανόνας της αναδιάταξης των εξισώσεων είναιτι κάνετε στη μία πλευρά, πρέπει επίσης να κάνετε στην άλλη. Υπάρχουν περισσότερα σχετικά με αυτό παρακάτω.

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές (8 - 3 = 5), τότε η εξίσωση γίνεται

5> ( boldsymbol {x} )

Μπορούμε να δούμε ότι το (x ) πρέπει να είναι μικρότερο από 5 ( (Χ )<5).

Δεν μπορούμε να πούμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τι είναι (x ) με τις πληροφορίες που μας δίνονται. Ωστόσο, στην αρχική εξίσωση που χρησιμοποιήσαμε ως παράδειγμα, αντικαταστήσαμε το 4 με (x ), το οποίο είναι πράγματι μικρότερο από 5.

Δεν υπάρχει καμία μαγεία για τη χρήση ενός σγουρού «x» ( ({x} )). Ωστόσο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε γράμμα θέλετε ({Χ} )και ({Y} )χρησιμοποιούνται συνήθως για την αναπαράσταση των άγνωστων στοιχείων των εξισώσεων.

Μεταβλητές και σταθερές


Ένα γράμμα που χρησιμοποιείται για να αντικαταστήσει έναν αριθμό στην άλγεβρα ονομάζεται aμεταβλητός, γιατί σημαίνει διαφορετικούς αριθμούς κάθε φορά που το χρησιμοποιείτε.

Αυτό διαφέρει από ένα συγκεκριμένο γράμμα που χρησιμοποιείται πάντα για την αντικατάσταση του ίδιου αριθμού, όπως ( pi ) (pi) που είναι πάντα 3.142. Ένα τέτοιο γράμμα ονομάζεται ασυνεχής.

Σε μια αλγεβρική εξίσωση, οι δεδομένοι αριθμοί είναι επίσης σταθερές, επειδή παραμένουν πάντα οι ίδιοι.

Εάν απαιτείται να επιλύσετε μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια σταθερά, θα σας ενημερώνεται πάντα η αξία της.


Όροι εξίσωσης

Ένας όρος είναι ένα μέρος της εξίσωσης που διαχωρίζεται από άλλα μέρη, συνήθως με ένα σύμβολο προσθήκης (+) ή αφαίρεσης (& μείον;).

Μια ομάδα όρων ονομάζεται έκφραση, μάλλον σαν μαθηματική πρόταση ή περιγραφή. Ορισμένες μαθηματικές εκφράσεις μπορεί να φαίνονται αρκετά τρομακτικές, γεμάτες αριθμούς και γράμματα, μερικά από τα οποία μπορεί να είναι και ελληνικά. Ωστόσο, το κλειδί είναι να εξετάζουμε κάθε όρο ξεχωριστά και να τον χωρίζουμε σε πράγματα που γνωρίζετε ή που μπορείτε να επεξεργαστείτε. Εάν το κάνετε αυτό, θα αρχίσετε να καταλαβαίνετε ότι δεν είναι πάντα τόσο δύσκολο όσο σκεφτήκατε για πρώτη φορά.

Οι όροι μπορεί να είναι απλοί αριθμοί, ή μπορεί να είναι απλά γράμματα ή μπορεί να είναι συνδυασμός γραμμάτων και αριθμών, όπως 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) ή 4 ( boldsymbol {x} )δύο.

Σε έναν όρο που περιλαμβάνει γράμματα και αριθμούς, ο αριθμός είναι γνωστός ωςσυντελεστής, και το γράμμα είναι τομεταβλητός. Ο συντελεστής είναι απλώς ένας «πολλαπλασιαστής» - σας λέει πόσα από τα πράγματα (η μεταβλητή) έχετε στον συγκεκριμένο όρο.

Λέγονται όροι που έχουν ακριβώς την ίδια μεταβλητήόπως όροικαι μπορείτε να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε ή να τα διαιρέσετε σαν να ήταν απλοί αριθμοί. Για παράδειγμα:

Η εξίσωση 2 (x ) + 3 (x ) είναι ίση με 5 (x ), απλώς 2 παρτίδες (x ) συν 3 παρτίδες (x ) για να δημιουργήσετε 5 παρτίδες ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

Εσύδεν μπορώπροσθέστε ή αφαιρέστε 'διαφορετικούς όρους'. Ωστόσο, μπορείτε να τους πολλαπλασιάσετε συνδυάζοντας μεταβλητές και πολλαπλασιάζοντας τους συντελεστές.

Έτσι, για παράδειγμα, 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (επειδή το 6 (xy ) σημαίνει απλά 6 φορές (x ) φορές (y )).

Μπορείτε να διαιρέσετε τους αντίθετους όρους μετατρέποντάς τους σε κλάσματα και ακυρώνοντάς τους. Ξεκινήστε με τους αριθμούς και μετά τα γράμματα.

Έτσι, για παράδειγμα:

( μεγάλο {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2ε $
Χωρίστε την κορυφή
και κάτω
από 3
Χωρίστε την κορυφή
και κάτω
από x
Το 1 μπορεί να είναι
αγνοήθηκε γιατί
οτιδήποτε χωρισμένο
από το 1 είναι το ίδιο

Αναδιάταξη και επίλυση εξισώσεων

Σε πολλές περιπτώσεις για να λύσετε μια εξίσωση, πιθανότατα θα χρειαστείτακτοποιώτο. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μετακινήσετε τους όρους για να καταλήξετε μόνο με όρους που περιλαμβάνουν (x ) στη μία πλευρά του συμβόλου ισότητας (όπως =,> ή<) and all the numbers on the other.

Αυτή η διαδικασία καλείται μερικές φορέςαπομόνωση (x ).

Μπορείτε να αναδιατάξετε εξισώσεις μέσω ενός συνόλου απλών κανόνων:

  1. Ό, τι κι αν κάνετε στη μία πλευρά της εξίσωσης, εσείςπρέπεικάντε το ίδιο με το άλλο. Με αυτόν τον τρόπο διατηρείτε τη σχέση μεταξύ τους. Δεν έχει σημασία τι κάνετε, είτε αφαιρεί 2, προσθέστε 57, πολλαπλασιάστε με 150 ή διαιρέστε με (x ). Όσο το κάνετε και στις δύο πλευρές, η εξίσωση παραμένει σωστή. Μπορεί να σας βοηθήσει να σκεφτείτε την εξίσωση σας ως ένα σύνολο ζυγών ή ένα πριόνι, το οποίο πρέπει πάντα να ισορροπεί.

  2. Η σελίδα μας στοΠρόσθεσηεξηγεί ότι δεν έχει σημασία ποια παραγγελία προσθέτετε, η απάντηση παραμένει η ίδια. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να αναδιατάξετε την έκφραση για να βάλετε τοόπως όροιμαζί και διευκολύνετε την προσθήκη. Αυτό ισχύει γιαΑφαίρεσηεπίσης, αρκεί να θυμάστε από τη σελίδα μαςΘετικοί και αρνητικοί αριθμοίπου αφαιρείείναι το ίδιο με την προσθήκη αρνητικού αριθμού. Έτσι, για παράδειγμα, 10 & μείον; 3 = 10 + (-3).

  3. Οι εξισώσεις λειτουργούν σύμφωνα μεBODMASεπίσης, θυμηθείτε να κάνετε τον υπολογισμό με τη σωστή σειρά.

  4. Πάντα να λαμβάνετε την εξίσωση σας στην απλούστερη δυνατή μορφή: πολλαπλασιάστε τις αγκύλες, διαιρέστε, ακυρώστε τα κλάσματα και προσθέστε / αφαιρέστε όλους τους ομοειδείς όρους.

Λειτουργούν παραδείγματα:

Προσπαθήστε να λύσετε αυτές τις εξισώσεις για (x ), κάντε κλικ στα πλαίσια για να αποκαλύψετε τη λειτουργία και τις απαντήσεις.

$$ μεγάλο {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Όπως με οποιονδήποτε υπολογισμό, κάντε τον πολλαπλασιασμό πρώτα. 5 × 4 = 20
  • Έτσι (x ) + 3 = 20
  • Το επόμενο βήμα είναι να πάρετε τρία μακριά και από τις δύο πλευρές
  • (x ) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Αυτό σας αφήνει την απάντηση: (x ) = 17

$$ μεγάλο {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Πραγματοποιήστε πρώτα τον υπολογισμό στη δεξιά πλευρά, επειδή δεν περιλαμβάνει γράμματα. Δεν υπάρχουν παρενθέσεις, οπότε είναι πολλαπλασιασμός πρώτα και μετά προσθήκη.
  • 6 × 5 = 30 και 30 + 3 = 33.
  • Ο υπολογισμός στα αριστερά είναι ένας πρόσθετος, ώστε να μπορείτε να μετακινήσετε τους όρους, έως ότου έχετε όλοι τους αριθμούς μαζί:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    και 5 + 21 = 26.
  • Τώρα έχετε 26 + (x ) = 33
  • Τώρα μπορείτε να πάρετε 26 μακριά και από τις δύο πλευρές
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • Και 33 - 26 = 7.

Επομένως (x ) = 7

$$ μεγάλο {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Αναδιάταξη για να λάβετε όλους τους αριθμούς από τη μία πλευρά, αφαιρώντας πέντε μακριά από κάθε πλευρά.
  • Τώρα έχετε
    (Χ )δύο= 13 - 4 - 5, έτσι
  • (Χ )δύο= 4
  • Τώρα πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών, επειδή θέλετε να βρείτε την τιμή (x ) και όχι (x )δύο.
  • Ξέρετε ότι 2 × 2 = 4, που σημαίνει ότι η τετραγωνική ρίζα του 4 = 2

(x ) = 2



Εξισώσεις και γραφήματα

Οποιαδήποτε εξίσωση στην οποία υπάρχει σχέση μεταξύ δύο μόνο μεταβλητών, (x ) και (y ), μπορεί να σχεδιαστεί ως γράφημα γραμμής όπου (x ) πηγαίνει κατά μήκος του οριζόντιου άξονα (μερικές φορές ονομάζεται άξονας x ) και (y ) στον κατακόρυφο άξονα, (μερικές φορές ονομάζεται άξονας y).

Μπορείτε να επεξεργαστείτε τα σημεία στο γράφημα σας επιλύοντας την εξίσωση για συγκεκριμένες τιμές του (x ).

Παραδείγματα:

( μεγάλο {y = 2x + 3} )
(Χ ) 0 1 δύο 3 4 5 6
υπολ 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
(Υ ) 3 5 7 9 έντεκα 13 δεκαπέντε
Χρήση γραφήματος για τον υπολογισμό της τιμής y με βάση οποιαδήποτε δεδομένη τιμή x.

Το πλεονέκτημα της σχεδίασης ενός γραφήματος μιας εξίσωσης είναι ότι μπορείτε στη συνέχεια να το χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε την τιμή του (y ) για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή (x ) ή πράγματι (x ) για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή του (y ), κοιτάζοντας το γράφημα.

Σε αυτό το παράδειγμα ποια είναι η τιμή του (x ) όταν (y ) = 10;

Μετακινήστε τον άξονα y μέχρι να φτάσετε στο 10 και μετά οριζόντια μέχρι να φτάσετε στη γραμμή του γραφήματος. Σε αυτό το σημείο, μετακινηθείτε προς τα κάτω μέχρι να φτάσετε στον άξονα x. Αυτό φαίνεται από τις κόκκινες γραμμές στο γράφημα και μπορείτε να δείτε ότι όταν (y ) = 10, (x ) = 3.5.


( μεγάλο {y = x ^ 2 + x + 4} )

Όταν (x ) = 0, (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
όταν (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
όταν (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
και ούτω καθεξής...

(Χ ) 0 1 δύο 3 4 5 6 7 8 9 10
(Υ ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
Ένα γράφημα στην άλγεβρα. Χρησιμοποιήστε την τιμή x για να βρείτε την τιμή του y.

Επεκβολή


Ένα άλλο πλεονέκτημα της σχεδίασης της εξίσωσης σας σε ένα γράφημα είναι ότι μπορείτε να κάνετε παρέκταση των δεδομένων σας (αριθμητικές πληροφορίες) για να υπολογίσετε μεγαλύτερες τιμές (x ) ή (y ). Η παρέκταση σημαίνει ότι επεκτείνετε το γράφημα συνεχίζοντας τη γραμμή που έχετε σχεδιάσει από τα δεδομένα σας, για να εκτιμήσετε τιμές (x ) και (y ) πέρα ​​από το εύρος των δεδομένων που έχετε ήδη.

Στο πρώτο παράδειγμα, η εξίσωση παράγει μια ευθεία γραμμή, οπότε η παρέκταση αυτού του γραφήματος είναι απλή. Ωστόσο, απαιτείται προσοχή κατά την παρέκταση ενός γραφήματος που δεν είναι ευθεία, όπως στο δεύτερο παράδειγμα.


Συμπερασματικά

Αυτή η σελίδα εξήγησε τον τρόπο επίλυσης απλών εξισώσεων και τη σχέση μεταξύ εξισώσεων και γραφημάτων, δίνοντάς σας έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης εξισώσεων.

Τώρα είστε έτοιμοι να προχωρήσετε σε πιο περίπλοκες εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων ταυτόχρονων εξισώσεων και τετραγωνικών εξισώσεων.


Συνέχισε να:
Ταυτόχρονες και τετραγωνικές εξισώσεις
Πιθανότητα μια εισαγωγή