Εισαγωγή στις γωνίες

Δείτε επίσης:Κύκλοι και καμπύλες μορφές

Μόλις κατακτήσετε την ιδέα τουσημεία, γραμμές και επίπεδα, το επόμενο πράγμα που πρέπει να λάβετε υπόψη είναι τι συμβαίνει όταν δύο γραμμές ή ακτίνες συναντιούνται σε ένα σημείο, δημιουργώντας έναγωνίαμεταξυ τους.

Γωνίεςχρησιμοποιούνται σε όλη τη γεωμετρία, για να περιγράψουν σχήματα όπωςπολύγωνακαιπολυέδρονα, και να εξηγήσουμε τη συμπεριφορά των γραμμών, οπότε είναι καλή ιδέα να εξοικειωθείτε με κάποια από την ορολογία και τον τρόπο μέτρησης και περιγραφής των γωνιών.


Τι είναι μια γωνία;

Οι γωνίες σχηματίζονται μεταξύ δύο ακτίνων που εκτείνονται από ένα μόνο σημείο:

Μια γωνία μεταξύ δύο ακτίνων (γραμμές)

Οι γωνίες σχεδιάζονται συνήθως ως τόξο (μέρος ενός κύκλου), όπως παραπάνω.

Ιδιότητες γωνιών

Οι γωνίες μετρώνται σεβαθμούς, που είναι ένα μέτρο κυκλικότητας ή περιστροφής.

Μια πλήρης περιστροφή, η οποία θα σας φέρει πίσω στην ίδια κατεύθυνση, είναι 360 °. Ο μισός κύκλος είναι επομένως 180 ° και ένας τέταρτος κύκλος, ή δεξιά, είναι 90 °.

180 ° Γωνίες ως μισό κύκλο και εμφανίζονται σε μια γραμμή

Δύο ή περισσότερες γωνίες σε ευθεία γραμμή προσθέτουν έως και 180°. Στο παραπάνω διάγραμμα, ο κύκλος στα αριστερά χωρίζεται σε τρεις τομείς, οι γωνίες του πράσινου και του λευκού τομέα είναι και οι δύο 90 °, προσθέτοντας έως και 180 °.

Η εικόνα προς τα δεξιά δείχνει ότι οι γωνίες a και b προστίθενται επίσης έως 180 °. Όταν κοιτάτε το διάγραμμα σαν αυτό, είναι εύκολο να το δείτε, αλλά είναι επίσης εκπληκτικά εύκολο να ξεχάσετε στην πράξη.



Ονομασία διαφορετικών γωνιών

Λέγεται γωνία μικρότερη από 90 °οξύςκαι ένα μεγαλύτερο από 90 ° αλλά μικρότερο από 180 ° είναικουτός.

Λέγεται γωνία ακριβώς 180 °ευθεία. Καλούνται γωνίες μεγαλύτερες από 180 °αντανάκλασηγωνίες.

Μπορούν να αποδειχθούν διαφορετικές γωνίες σε ένα ρολόι. Το ωριαίο χέρι του ρολογιού κινείται γύρω καθώς ο χρόνος περνά μέσα από την ημέρα. Η γωνία της περιστροφής επισημαίνεται με πράσινο χρώμα.

Τύποι γωνίας: Οξεία, δεξιά, αόριστη, ευθεία, αντανακλαστική και πλήρης περιστροφή

Αντίθετες γωνίες: Διασταυρούμενες γραμμές

Όταν δύο γραμμές τέμνονται, οι αντίθετες γωνίες είναι ίσες. Σε αυτήν την περίπτωση, όχι μόνο τα a και τα ίδια, αλλά, φυσικά, τα a και b προσθέτουν έως και 180 °:

Επίδειξη αντίθετων γωνιών όπου τέμνονται οι γραμμές.

Διατομές με παράλληλες γραμμές: λίγο ειδική θήκη

Η σελίδα μαςΕισαγωγή στη Γεωμετρίαεισάγει την έννοια των παράλληλων γραμμών: γραμμές που πηγαίνουν για πάντα δίπλα-δίπλα και δεν διασχίζουν ποτέ, όπως σιδηροδρομικές γραμμές.

Οι γωνίες γύρω από οποιαδήποτε γραμμή που τέμνει παράλληλες γραμμές έχουν επίσης μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

Εάν δύο παράλληλες γραμμές (Α και Β) τέμνονται από μια τρίτη ευθεία γραμμή (Γ), τότε η γωνία στην οποία διασταυρώνεται η διασταυρούμενη γραμμή θα είναι η ίδια και για τις δύο παράλληλες γραμμές.

Γραμμή που διασχίζει παράλληλες γραμμές για να δημιουργήσει αντίστοιχη και εναλλακτική γωνία. Γωνίες Z και F.

Λέγεται ότι οι δύο γωνίες a και οι δύο γωνίες bαντίστοιχος.

Θα δείτε επίσης αμέσως ότι τα α και β προστίθενται έως 180 °, καθώς βρίσκονται σε ευθεία γραμμή.

Η γωνία c, την οποία θα συνειδητοποιήσετε από την προηγούμενη ενότητα είναι ίδια με το a, λέγεται ότι είναιεναλλακτικόμε.

Γωνίες Z και F


ονομάζονται c και az-γωνίες, επειδή αν ακολουθήσετε τη γραμμή από την κορυφή του c έως το κάτω μέρος του a, σχηματίζει το σχήμα του z (με κόκκινο χρώμα στο παραπάνω διάγραμμα).

a και a λέγεται ότι είναιF-γωνίες, επειδή η γραμμή σχηματίζει σχήμα F από το κάτω μέρος της άνω γωνίας προς τα κάτω και γύρω από το κάτω μέρος της κάτω γωνίας a (με πράσινο χρώμα στο διάγραμμα)


Μέτρηση γωνιών

Μοιρογνωμόνιο

ΠΡΟΣ ΤΗΝμοιρογνωμόνιοχρησιμοποιείται συνήθως για τη μέτρηση γωνιών. Τα μοιρογνωμόνια είναι συνήθως κυκλικά ή ημικυκλικά και είναι κατασκευασμένα από διαφανές πλαστικό, έτσι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν πάνω σε σχήματα που σχεδιάζονται σε ένα κομμάτι χαρτί, επιτρέποντάς σας να μετρήσετε τη γωνία.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει πώς να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για τη μέτρηση των τριών γωνιών ενός τριγώνου, αλλά η ίδια μέθοδος ισχύει για άλλα σχήματα ή οποιεσδήποτε γωνίες που θέλετε να μετρήσετε.

  • Ευθυγραμμίστε το κεντρικό σημάδι στη βάση του μοιρογνωμόνίου σας με τοκορυφή,ή σημείο στο οποίοοι γραμμές συναντιούνται. Το τρίγωνο έχει τρεις κορυφές, μία για κάθε γωνία μέτρησης.
  • Τα περισσότερα μοιρογνωμόνια έχουν αμφίδρομη κλίμακα που σημαίνει ότι μπορείτε να κάνετε μια μέτρηση προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Βεβαιωθείτε ότι χρησιμοποιείτε τη σωστή κλίμακα - θα πρέπει να είστε σε θέση να πείτε εύκολα εάν η γωνία σας είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από 90 ° και επομένως χρησιμοποιήστε τη σωστή κλίμακα. Εάν δεν είστε σίγουροι, ρίξτε μια γρήγορη ματιά στην ενότητα μας σχετικά με τις γωνίες ονοματολογίας.
Χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο

Σε αυτό το παράδειγμα οι καταγεγραμμένες γωνίες είναι A = 90 ° B = 45 ° και C = 45 °.

Τα πολύγωνα συχνά ορίζονται από τις εσωτερικές τους γωνίες και το σύνολο των εσωτερικών γωνιών εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών. Για παράδειγμα, οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου προσθέτουν πάντα έως και 180 °. Για περισσότερα σχετικά με αυτό, ανατρέξτε στη σελίδα μας στοΠολύγωνα.

Βαθμοί ή ακτίνες;


Όταν πρέπει να μετρήσουμε ή να περιγράψουμε μια γωνία, συνήθως χρησιμοποιούμε «μοίρες» ως μονάδα μέτρησης. Ωστόσο, πολύ συχνά, μπορεί να βρείτε γωνίες που αναφέρονται στοακτίνια.

Το radian είναι η μονάδα μέτρησης Standard International (SI) για γωνίες και χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών.

Είπαμε παραπάνω ότι η πλήρης περιστροφή των γωνιών μέσω ενός κυκλικού τόξου είναι ίση με 360 °. Είναι επίσης ίσο με 2π ακτίνια, όπου π (pi) είναι ένας ειδικός αριθμός ίσος με (περίπου) 3,142 (υπάρχουν περισσότερα για π στην σελίδα μας στοΕιδικοί αριθμοί και έννοιες).

Ένα ακτίνα ισούται με 360 / 2π = 57,3 °. Χρησιμοποιούμε επίσης pi όταν πρέπει να υπολογίσουμε την περιοχή ή την περιφέρεια ενός κύκλου ή τον όγκο μιας σφαίρας (και υπάρχουν περισσότερα σχετικά με αυτό στη σελίδα μας στοΚυρτές μορφές).

Προχωράω…

Μόλις καταλάβετε για τις γωνίες και πώς να τις μετρήσετε, μπορείτε να το εφαρμόσετε με πολύγωνα και πολυέδρον κάθε είδους και επίσης να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας για να υπολογίσετε την περιοχή (υπάρχουν περισσότερα σχετικά με αυτό στη σελίδα μας στοΥπολογισμός περιοχής).

Συνέχισε να:
Πολύγωνα
Κύκλοι και καμπύλες μορφές
Τρισδιάστατα σχήματα