Εισαγωγή στη Γεωμετρία: Σημεία, Γραμμές, Επίπεδα και Διαστάσεις

Δείτε επίσης:Υπολογισμός περιοχής

Όταν αρχίζετε να μελετάτε τη γεωμετρία, είναι σημαντικό να γνωρίζετε και να κατανοείτε ορισμένες βασικές έννοιες.

Αυτή η σελίδα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την έννοια των διαστάσεων στη γεωμετρία και να μάθετε αν εργάζεστε σε μία, δύο ή τρεις διαστάσεις.

Εξηγεί επίσης μερικές από τις βασικές ορολογίες και σας οδηγεί σε άλλες σελίδες για περισσότερες πληροφορίες.

Αυτή η σελίδα καλύπτει σημεία, γραμμές και επίπεδα.

Άλλες σελίδες αυτής της σειράς εξηγούνγωνίεςκαι σχήματα, συμπεριλαμβανομένωνπολύγωνα,κύκλους και άλλα κυρτά σχήματα, καιτρισδιάστατα σχήματα.

Τι είναι η γεωμετρία;


Γεωμετρία, ν. το μέρος των μαθηματικών που αντιμετωπίζει τις ιδιότητες των σημείων, γραμμών, επιφανειών και στερεών…


Chambers English Dictionary, έκδοση 1989

Η γεωμετρία προέρχεται από την ελληνική έννοια «μέτρηση της γης» και είναι η οπτική μελέτη των σχημάτων, των μεγεθών και των προτύπων και του πώς ταιριάζουν μαζί στο διάστημα. Θα διαπιστώσετε ότι οι σελίδες γεωμετρίας μας περιέχουν πολλά διαγράμματα για να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε το θέμα.

Όταν αντιμετωπίζετε ένα πρόβλημα που σχετίζεται με τη γεωμετρία, μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα.


Εργασία σε διαφορετικές διαστάσεις

Όχι, όχι το συνεχές χωροχρόνο! Μιλάμε για σχήματα σε μία, δύο και τρεις διαστάσεις.

Δηλαδή, αντικείμενα που έχουν μήκος (μία διάσταση), μήκος και πλάτος (δύο διαστάσεις) και μήκος, πλάτος και βάθος ή ύψος (τρεις διαστάσεις).

Διαστάσεις γεωμετρικών αντικειμένων. Σημείο - Χωρίς διαστάσεις. Γραμμή - Μία διάσταση. Επίπεδο - Δύο Διαστάσεις. Στερεά - Τρεις Διαστάσεις.

Πόντοι: Μια ειδική περίπτωση: Χωρίς διαστάσεις

ΠΡΟΣ ΤΗΝσημείοείναι μια μεμονωμένη τοποθεσία στο διάστημα. Αντιπροσωπεύεται συχνά από μια κουκκίδα στη σελίδα, αλλά στην πραγματικότητα δεν έχει πραγματικό μέγεθος ή σχήμα.

Δεν μπορείτε να περιγράψετε ένα σημείο ως προς το μήκος, το πλάτος ή το ύψος, επομένως είναι επομένωςμη διαστατικό.Ωστόσο, ένα σημείο μπορεί να περιγραφεί από συντεταγμένες. Οι συντεταγμένες δεν ορίζουν τίποτα για το σημείο εκτός από τη θέση του στο διάστημα, σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς γνωστών συντεταγμένων. Θα συναντήσετε συντεταγμένες σημείων σε πολλές εφαρμογές, όπως όταν είστεσχεδίαση γραφημάτων, ή ανάγνωση χαρτών.

Σχεδόν όλα στη γεωμετρία ξεκινούν με ένα σημείο, είτε πρόκειται για μια γραμμή είτε για ένα περίπλοκο τρισδιάστατο σχήμα.

Γραμμές: Μία διάσταση

ΠΡΟΣ ΤΗΝγραμμήείναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Έχει μήκος, αλλά όχι πλάτος, που το καθιστά μονοδιάστατο.

Όπου δύο ή περισσότερες γραμμές συναντιούνται ή τέμνονται, υπάρχει ένα σημείο και οι δύο γραμμές λένε ότι μοιράζονται ένα σημείο:

Διασταυρούμενες γραμμές και ένα σημείο

Γραμμικά τμήματα και ακτίνες

Υπάρχουν δύο είδη γραμμών: αυτές που έχουν ένα καθορισμένο σημείο έναρξης και λήξης και αυτές που συνεχίζονται για πάντα.

Οι γραμμές που κινούνται μεταξύ δύο σημείων ονομάζονταιτμήματα γραμμής. Ξεκινούν από ένα συγκεκριμένο σημείο και πηγαίνουν σε ένα άλλο, το τελικό σημείο. Σχεδιάστηκαν ως μια γραμμή μεταξύ δύο σημείων, όπως θα περίμενε κανείς.

Ευθύγραμμο τμήμα.

Ο δεύτερος τύπος γραμμής ονομάζεται aακτίνα, και αυτά συνεχίζονται για πάντα. Σχεδιάζονται συχνά ως μια γραμμή που ξεκινά από ένα σημείο με ένα βέλος στο άλλο άκρο:

Ray - Μια γραμμή που πηγαίνει στο άπειρο.

Παράλληλες και κάθετες γραμμές

Υπάρχουν δύο τύποι γραμμών που είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες ή / και χρήσιμες στα μαθηματικά.Παράλληλες γραμμέςποτέ δεν συναντάμε ή τέμνουμε. Απλώς πάνε για πάντα δίπλα-δίπλα, σαν σιδηροδρομικές γραμμές. Η σύμβαση που δείχνει ότι οι γραμμές είναι παράλληλες σε ένα διάγραμμα είναι να προσθέσετε «φτερά», που μοιάζουν με κεφαλές βέλους.

Παράλληλες γραμμές

Κάθετες γραμμέςτέμνει σε ορθή γωνία, 90 °:

Οι κάθετες γραμμές δημιουργούν μια ορθή γωνία (90 °)

Επίπεδα και δισδιάστατα σχήματα

Τώρα που έχουμε ασχοληθεί με μία διάσταση, ήρθε η ώρα να περάσουμε σε δύο.

ΠΡΟΣ ΤΗΝεπίπεδοείναι μια επίπεδη επιφάνεια, επίσης γνωστή ως δισδιάστατη. Είναι τεχνικά χωρίς περιορισμούς, πράγμα που σημαίνει ότι συνεχίζεται για πάντα σε οποιαδήποτε δεδομένη κατεύθυνση και ως εκ τούτου είναι αδύνατο να σχεδιαστεί σε μια σελίδα.

Ένα από τα βασικά στοιχεία της γεωμετρίας είναι πόσες διαστάσεις εργάζεστε ανά πάσα στιγμή. Εάν εργάζεστε σε ένα μόνο επίπεδο, τότε είναι είτε ένα (μήκος) είτε δύο (μήκος και πλάτος). Με περισσότερα από ένα επίπεδα, πρέπει να είναι τρισδιάστατο, επειδή εμπλέκεται επίσης το ύψος / βάθος.

Τα δισδιάστατα σχήματα περιλαμβάνουν πολύγωνα όπως τετράγωνα, ορθογώνια και τρίγωνα, τα οποία έχουν ευθείες γραμμές και ένα σημείο σε κάθε γωνία.

Δύο διαστάσεων πολύγωνα, τετράγωνο, ορθογώνιο και τρίγωνο.
Υπάρχουν περισσότερα σχετικά με τα πολύγωνα στη σελίδα μας στοΠολύγωνα. Άλλα δισδιάστατα σχήματα περιλαμβάνουν κύκλους και οποιοδήποτε άλλο σχήμα που περιλαμβάνει καμπύλη. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτά στη σελίδα μας,Κυρτές μορφές.

Τρεις διαστάσεις: Πολυέδροντα και καμπύλα σχήματα

Τέλος, υπάρχουν επίσηςτρισδιάστατα σχήματα, όπως κύβοι, σφαίρες, πυραμίδες και κύλινδροι.

Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτά, ανατρέξτε στη σελίδα μαςΤρισδιάστατα σχήματα.


Σήματα, σύμβολα και ορολογία

Γεωμετρικά σύμβολα. Βαθμοί °. Σημειώστε και γωνίες.

Το σχήμα που απεικονίζεται εδώ είναι ένα ακανόνιστο πεντάγωνο, ένα πολύγωνο πέντε όψεων με διαφορετικές εσωτερικές γωνίες και μήκη γραμμής (δείτε τη σελίδα μας στοΠολύγωναγια περισσότερα σχετικά με αυτά τα σχήματα).

Βαθμοί °είναι ένα μέτρο περιστροφής και καθορίζει το μέγεθος της γωνίας μεταξύ των δύο πλευρών.

Γωνίεςσυνήθως επισημαίνονται στη γεωμετρία χρησιμοποιώντας ένα τμήμα ενός κύκλου (τόξο), εκτός εάν είναι ορθή γωνία όταν είναι «τετράγωνα». Τα σημάδια γωνίας εμφανίζονται με πράσινο χρώμα στο παράδειγμα εδώ. Δείτε τη σελίδα μας στοΓωνίεςΓια περισσότερες πληροφορίες.

Σημειώσεις(εμφανίζεται με πορτοκαλί χρώμα) υποδεικνύουν πλευρές ενός σχήματος που έχουν ίσο μήκος (πλευρές ενός σχήματος που είναισύμφωνοςή ότι ταιριάζει). Οι μονές γραμμές δείχνουν ότι οι δύο κάθετες γραμμές έχουν το ίδιο μήκος ενώ οι διπλές γραμμές δείχνουν ότι οι δύο διαγώνιες γραμμές έχουν το ίδιο μήκος. Η κάτω, οριζόντια, γραμμή σε αυτό το παράδειγμα έχει διαφορετικό μήκος από τις άλλες 4 γραμμές και επομένως δεν έχει σημειωθεί. Τα τσιμπούρια μπορούν επίσης να ονομαστούν «σημάδια πόρτας'.

Μια κορυφήείναι το σημείο όπου συναντώνται οι γραμμές (οι γραμμές αναφέρονται επίσης ως ακτίνες ή ακμές). Ο πληθυντικός της κορυφής είναι κορυφές. Στο παράδειγμα υπάρχουν πέντε κορυφές με την ένδειξη A, B, C, D και E. Η ονομασία κορυφών με γράμματα είναι κοινή στη γεωμετρία.

Σε κλειστό σχήμα, όπως στο παράδειγμά μας, η μαθηματική σύμβαση δηλώνει ότι τα γράμματα πρέπει πάντα να είναι σε τάξη προς τα δεξιά ή αριστερόστροφα. Το σχήμα μας μπορεί να περιγραφεί «ABCDE», αλλά θα ήταν λανθασμένο να επισημάνουμε τις κορυφές έτσι ώστε το σχήμα να ήταν «ADBEC» για παράδειγμα. Αυτό μπορεί να φαίνεται ασήμαντο, αλλά είναι σημαντικό σε ορισμένες περίπλοκες καταστάσεις να αποφευχθεί η σύγχυση.


Το γωνιακό σύμβολο «∠»χρησιμοποιείται ως στενό σύμβολο στη γεωμετρία όταν περιγράφει μια γωνία. Η έκφραση∠ABCείναι σύντομη η περιγραφή της γωνίας μεταξύ των σημείων Α και Γ στο σημείο Β. Το μεσαίο γράμμα σε τέτοιες εκφράσεις είναι πάντα η κορυφή της γωνίας που περιγράφετε - η σειρά των πλευρών δεν είναι σημαντική.∠ABCείναι το ίδιο με∠CBA,και οι δύο περιγράφουν την κορυφήσισε αυτό το παράδειγμα.

Αν θέλετε να γράψετε τη μετρούμενη γωνία στο σημείο Β στο στενό, τότε θα χρησιμοποιούσατε:

m∠ABC = 128 °(απλώς σημαίνει «μέτρο»)

ή

m∠CBA = 128 °

Στο παράδειγμά μας μπορούμε επίσης να πούμε:

m∠EAB = 90 °

m∠BCD = 104 °


Γιατί έχουν σημασία αυτές οι έννοιες;

Τα σημεία, οι γραμμές και τα επίπεδα υποστηρίζουν σχεδόν κάθε άλλη έννοια στη γεωμετρία. Οι γωνίες σχηματίζονται μεταξύ δύο γραμμών ξεκινώντας από ένα κοινό σημείο. Τα σχήματα, είτε δισδιάστατα είτε τρισδιάστατα, αποτελούνται από γραμμές που συνδέουν σημεία. Τα επίπεδα είναι σημαντικά επειδή τα δισδιάστατα σχήματα έχουν μόνο ένα επίπεδο. τρισδιάστατα έχουν δύο ή περισσότερα.

Με άλλα λόγια, πρέπει πραγματικά να κατανοήσετε τις ιδέες σε αυτήν τη σελίδα για να μπορέσετε να προχωρήσετε σε οποιαδήποτε άλλη γεωμετρία.

Συνέχισε να:
Γωνίες
Πολύγωνα
Υπολογισμός περιοχής