Τρισδιάστατα σχήματα: Πολυεδρόνια, καμπύλα στερεά και επιφάνεια

Δείτε επίσης:Ιδιότητες πολυγώνων

Αυτή η σελίδα εξετάζει τις ιδιότητες τρισδιάστατων ή «στερεών» σχημάτων.

Ένα δισδιάστατο σχήμα έχει μήκος και πλάτος. Ένα τρισδιάστατο συμπαγές σχήμα έχει επίσης βάθος. Τα τρισδιάστατα σχήματα, από τη φύση τους, έχουν εσωτερικό και εξωτερικό, χωρισμένα από επιφάνεια. Όλα τα φυσικά αντικείμενα, πράγματα που μπορείτε να αγγίξετε, είναι τρισδιάστατα.

Αυτή η σελίδα καλύπτει και τα στερεά ευθείας όψης που ονομάζονται πολυέδρονα, τα οποία βασίζονται σε πολύγωνα, και στερεά με καμπύλες, όπως σφαίρες, κύλινδροι και κώνοι.


Πολυέδρονα

Τα πολυέδρα (ή πολυέδρα) είναι στερεά σχήματα ευθείας πλευράς. Τα πολυέδρα βασίζονται σε πολύγωνα, δύο διαστάσεων σχήματα επιπέδου με ευθείες γραμμές.

Δείτε τη σελίδα μαςΙδιότητες πολυγώνωνγια περισσότερα σχετικά με την εργασία με πολύγωνα.

Τα πολυεδρικά ορίζονται ως έχοντα:

  • Ευθείαάκρες.
  • Οι επίπεδες πλευρές ονομάζονταιπρόσωπα.
  • Γωνίες, που ονομάζονταικορυφές.

Τα πολυεδρικά ορίζονται επίσης συχνά από τον αριθμό των άκρων, των προσώπων και των κορυφών που έχουν, καθώς και από το εάν τα πρόσωπά τους έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος. Όπως τα πολύγωνα, τα πολυέδροντα μπορεί να είναι κανονικά (με βάση τα κανονικά πολύγωνα) ή ακανόνιστα (με βάση τα ακανόνιστα πολύγωνα). Τα πολυέδρα μπορούν επίσης να είναι κοίλα ή κυρτά.

Ένα από τα πιο βασικά και γνωστά πολυεδρικά είναι ο κύβος. Ένας κύβος είναι ένας κανονικός πολυέδρος, με έξι τετραγωνικές όψεις, 12 άκρες και οκτώ κορυφές.


Ιδιότητες Βασικών Πολυέδρων. Τακτικά πολυεδρικά, πρίσματα και πυραμίδες.

Κανονικά πολυέδρα (πλατωνικά στερεά)

Οι πέντεκανονικά στερεάείναι μια ειδική κατηγορία πολυεδρών, όλα τα πρόσωπα των οποίων είναι ίδια με κάθε πρόσωπο να είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Τα πλατωνικά στερεά είναι:

  • Τετράεδρομε τέσσερις ίσες πλευρές τριγώνων.
  • Κύβοςμε έξι τετράγωνα πρόσωπα.
  • Οκτάεδρομε οκτώ ισόπλευρες τρίγωνες όψεις.
  • Δωδεκάεδρομε δώδεκα πρόσωπα πενταγώνου.
  • Ικοσαέδραμε είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα πρόσωπα.
Δείτε το παραπάνω διάγραμμα για μια απεικόνιση καθενός από αυτούς τους κανονικούς πολυέδρους.

Τι είναι το πρίσμα;

ΠΡΟΣ ΤΗΝπρίσμαείναι οποιοδήποτε πολύεδρο που έχει δύοταιριαστά άκρα και επίπεδες πλευρές. Εάν κόψετε ένα πρίσμα οπουδήποτε στο μήκος του, παράλληλα προς το τέλος, η διατομή του είναι η ίδια - θα καταλήγατε με δύο πρίσματα. Οι πλευρές ενός πρίσματος είναιπαραλληλόγραμμα- τετράπλευρα σχήματα με δύο ζεύγη πλευρών με ίσο μήκος.

Antiprismsείναι παρόμοια με τα κανονικά πρίσματα, τα άκρα τους ταιριάζουν. Ωστόσο, οι πλευρές των αντιπρισμάτων αποτελούνται από τρίγωνα και όχι παραλληλόγραμμα. Τα αντιπρίσματα μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκα.

Τι είναι η Πυραμίδα;

Μια πυραμίδα είναι ένα πολυέδρα με έναβάση πολυγώνουπου συνδέεται με ένακορυφή(κορυφαίο σημείο) με ευθείες πλευρές.

Παρόλο που τείνουμε να σκεφτόμαστε πυραμίδες με τετραγωνική βάση, όπως αυτές που έχτισαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, στην πραγματικότητα μπορούν να έχουν οποιαδήποτε βάση πολυγώνου, κανονική ή ακανόνιστη. Επιπλέον, μια πυραμίδα μπορεί να έχει μια κορυφή στο άμεσο κέντρο της βάσης της, αΔεξιά πυραμίδα, ή μπορεί να έχει την κορυφή εκτός κέντρου όταν είναιΠλάγια πυραμίδα.

Archimedean Solid - Περικομμένος κύβος

Πιο πολύπλοκα πολυέδρα

Υπάρχουν πολλοί περισσότεροι τύποι πολυέδρας: συμμετρικοί και ασύμμετροι, κοίλοι και κυρτοί.

Archimedean στερεά,Για παράδειγμα, αποτελούνται από τουλάχιστον δύο διαφορετικά κανονικά πολύγωνα.

Ο περικομμένος κύβος (όπως απεικονίζεται) είναι ένα στερεό Αρχιμήδη με 14 όψεις. 6 από τα πρόσωπα είναι κανονικά οκτάγωνα και τα άλλα 8 είναι κανονικά (ισόπλευρα) τρίγωνα. Το σχήμα έχει 36 άκρα και 24 κορυφές (γωνίες).


Τρισδιάστατα σχήματα με καμπύλες

Τα στερεά σχήματα που περιλαμβάνουν καμπύλη ή στρογγυλή άκρη δεν είναι πολυέδρον. Τα πολυεδρικά μπορούν να έχουν μόνο ευθείες πλευρές.

Πολλά από τα αντικείμενα γύρω σας θα περιλαμβάνουν τουλάχιστον κάποιες καμπύλες. Στη γεωμετρία, τα πιο συνηθισμένα καμπύλα στερεά είναι κύλινδροι, κώνοι, σφαίρες και tori (ο πληθυντικός για τον δακτύλιο).

Κοινά τρισδιάστατα σχήματα με καμπύλες:
Κύλινδρος Κώνος
Κύλινδρος Κώνος
Ένας κύλινδρος έχει την ίδια διατομή από το ένα άκρο στο άλλο. Οι κύλινδροι έχουν δύο πανομοιότυπα άκρα είτε ενός κύκλου είτε ενός οβάλ. Αν και παρόμοιοι, οι κύλινδροι δεν είναι πρίσματα, καθώς το πρίσμα έχει (εξ ορισμού) παραλληλόγραμμα, επίπεδες πλευρές. Ένας κώνος έχει κυκλική ή οβάλ βάση και κορυφή (ή κορυφή). Η πλευρά του κώνου πιέζει ομαλά στην κορυφή. Ένας κώνος είναι παρόμοιος με μια πυραμίδα αλλά διακριτός καθώς ένας κώνος έχει μία καμπύλη πλευρά και μια κυκλική βάση.
Σφαίρα Βάση στήλης
Σφαίρα Βάση στήλης
Σε σχήμα σφαίρας ή σφαίρας, η σφαίρα είναι ένα εντελώς στρογγυλό αντικείμενο. Κάθε σημείο στην επιφάνεια μιας σφαίρας είναι ίση απόσταση με το κέντρο της σφαίρας. Σε σχήμα δακτυλίου, ελαστικού ή ντόνατ, ένας κανονικός δακτύλιος δακτύλιος σχηματίζεται περιστρέφοντας έναν μικρότερο κύκλο γύρω από έναν μεγαλύτερο κύκλο. Υπάρχουν επίσης πιο περίπλοκες μορφές tori.

Επιφάνεια

Η σελίδα μας στοΥπολογισμός περιοχήςεξηγεί πώς να επεξεργαστείτε την περιοχή των δισδιάστατων σχημάτων και πρέπει να κατανοήσετε αυτά τα βασικά για να υπολογίσετε την επιφάνεια των τρισδιάστατων σχημάτων.

Για τρισδιάστατα σχήματα, μιλάμε γιαεπιφάνεια, για να αποφευχθεί η σύγχυση.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας σχετικά με την περιοχή των δισδιάστατων σχημάτων για να υπολογίσετε την επιφάνεια ενός τρισδιάστατου σχήματος, καθώς κάθε πρόσωπο ή πλευρά έχει ουσιαστικά ένα δισδιάστατο σχήμα.

Επομένως, επεξεργάζεστε την περιοχή κάθε προσώπου και, στη συνέχεια, προσθέστε τα μαζί.

Όπως με τα επίπεδα σχήματα, η επιφάνεια ενός στερεού εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες: cmδύο, ίντσεςδύο, Μδύοκαι ούτω καθεξής. Μπορείτε να βρείτε περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις μονάδες μέτρησης στη σελίδα μαςΣυστήματα μέτρησης.

Παραδείγματα υπολογισμών επιφάνειας

Επιφάνεια ενός κύβου

Κύβος

οεπιφάνεια του κύβουείναι η περιοχή μιας όψης (μήκος x πλάτος) πολλαπλασιασμένη επί 6, επειδή και οι έξι όψεις είναι ίδιες.

Καθώς το πρόσωπο ενός κύβου είναι ένα τετράγωνο, χρειάζεται μόνο να κάνετε μια μέτρηση - το μήκος και το πλάτος ενός τετραγώνου είναι εξ ορισμού το ίδιο.

Η μία όψη αυτού του κύβου είναι επομένως 10 × 10 cm = 100cmδύο. Πολλαπλασιάστε επί 6, τον αριθμό των προσώπων σε έναν κύβο και διαπιστώνουμε ότι η επιφάνεια αυτού του κύβου είναι 600 εκατοστάδύο.

Άλλα κανονικά πολυέδρα

Παρομοίως, η επιφάνεια των άλλων κανονικών πολυεδρών (πλατωνικά στερεά) μπορεί να επεξεργαστεί βρίσκοντας την περιοχή της μίας πλευράς και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας την απάντηση με τον συνολικό αριθμό πλευρών - δείτε το διάγραμμα Βασικών πολυεδρών.

Εάν η περιοχή ενός πενταγώνου που αποτελεί έναν δωδεκαέδρα είναι 22cmδύοστη συνέχεια πολλαπλασιάστε το με τον συνολικό αριθμό πλευρών (12) για να δώσετε την απάντηση 264cmδύο.


Πυραμίδα

Για τον υπολογισμό τουεπιφάνεια μιας τυπικής πυραμίδαςμε τέσσερις ίσες τριγωνικές πλευρές και τετραγωνική βάση:

Πρώτα επεξεργαστείτε την περιοχή του βάσης (τετράγωνο) μήκος × πλάτος.

Στη συνέχεια επεξεργαστείτε την περιοχή της μίας πλευράς (τρίγωνο). Μετρήστε το πλάτος κατά μήκος της βάσης και έπειτα το ύψος του τριγώνου (επίσης γνωστό ως κεκλιμένο μήκος) από το κεντρικό σημείο της βάσης έως την κορυφή.

Στη συνέχεια, μπορείτε είτε να διαιρέσετε την απάντησή σας με 2 για να σας δώσετε την επιφάνεια ενός τριγώνου και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε με 4 για να δώσετε την επιφάνεια και των τεσσάρων πλευρών, ή απλά να πολλαπλασιάσετε την επιφάνεια ενός τριγώνου με 2.

Τέλος, προσθέστε την περιοχή της βάσης και τις πλευρές μαζί για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.

Για τον υπολογισμό τουεμβαδόν άλλων τύπων πυραμίδας,Προσθέστε μαζί την περιοχή της βάσης (γνωστή ως βασική περιοχή) και την περιοχή των πλευρών (πλευρική περιοχή), ίσως χρειαστεί να μετρήσετε τις πλευρές μεμονωμένα.

Καθαρά διαγράμματα

Ένα γεωμετρικό δίχτυ είναι ένα δισδιάστατο «μοτίβο» για ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Τα δίχτυα μπορούν να βοηθήσουν κατά την επεξεργασία της επιφάνειας ενός τρισδιάστατου αντικειμένου. Στο παρακάτω διάγραμμα μπορείτε να δείτε πώς κατασκευάζονται οι βασικές πυραμίδες, εάν η πυραμίδα «ξεδιπλωθεί», μένετε με το δίχτυ.

Δίχτυα πυραμίδας

Για περισσότερα σχετικά με τα καθαρά διαγράμματα δείτε τη σελίδα μας3D σχήματα και δίχτυα.


Επιφάνεια ενός πρίσματος

Πρίσμα

Για τον υπολογισμό τουεπιφάνεια του πρίσματος:

Τα πρίσματα έχουν δύο άκρες τις ίδιες και επίπεδες πλευρές παραλληλόγραμμων.

Υπολογίστε την περιοχή του ενός άκρου και πολλαπλασιάστε με το 2.

Για ένα κανονικό πρίσμα (όπου όλες οι πλευρές είναι ίδιες) υπολογίστε την περιοχή μιας από τις πλευρές και πολλαπλασιάστε με τον συνολικό αριθμό πλευρών.

Για ακανόνιστα πρίσματα (με διαφορετικές πλευρές) υπολογίστε την περιοχή κάθε πλευράς.

Προσθέστε τις δύο απαντήσεις μαζί (άκρες × πλευρές) για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος.


Κύλινδρος

Επιφάνεια κυλίνδρου

Παράδειγμα:
Ακτίνα = 5εκ
Ύψος = 10 εκατοστά

Για τον υπολογισμό τουεπιφάνεια του κυλίνδρουείναι χρήσιμο να σκεφτούμε τα συστατικά μέρη του σχήματος. Φανταστείτε ένα κασσίτερο γλυκό καλαμπόκι - έχει πάνω και κάτω μέρος, και τα δύο είναι κύκλοι. Εάν κόψετε την πλευρά κατά μήκος και την ισοπεδώσετε θα έχετε ένα ορθογώνιο. Επομένως, πρέπει να βρείτε την περιοχή δύο κύκλων και ενός ορθογωνίου.

Πρώτα επεξεργαστείτε την περιοχή ενός από τους κύκλους.

Η περιοχή ενός κύκλου είναι ακτίνα π (pi) ×δύο.

Υποθέτοντας μια ακτίνα 5cm, η περιοχή ενός από τους κύκλους είναι 3,14 × 5δύο= 78,5 εκατοστάδύο.

Πολλαπλασιάστε την απάντηση με 2, καθώς υπάρχουν δύο κύκλοι 157 εκατοστάδύο

Η περιοχή της πλευράς του κυλίνδρου είναι η περίμετρος του κύκλου × το ύψος του κυλίνδρου.

Η περίμετρος ισούται με ακτίνα π x 2 ×. Στο παράδειγμά μας, 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Μετρήστε το ύψος του κυλίνδρου - για αυτό το παράδειγμα το ύψος είναι 10 εκατοστά. Το εμβαδόν της πλευράς είναι 31,4 × 10 = 314 εκατοστάδύο.

Η συνολική επιφάνεια μπορεί να βρεθεί προσθέτοντας την περιοχή των κύκλων και την πλευρά μαζί:

157 + 314 = 471 εκδύο


Υπολογίστε την επιφάνεια ενός κώνου.

Παράδειγμα:
Ακτίνα = 5εκ
Μήκος κλίσης = 10cm

Κώνος

Κατά τον υπολογισμό τουεπιφάνεια του κώνουπρέπει να χρησιμοποιήσετε το μήκος του «κεκλιμένου» καθώς και την ακτίνα της βάσης.

Ωστόσο, είναι σχετικά απλό να υπολογίσετε:

Η περιοχή του κύκλου στη βάση του κώνου είναι, ακτίνα π (pi) ×δύο.

Σε αυτό το παράδειγμα το άθροισμα είναι 3,14 × 5δύο= 3,14 × 25 = 78,5 εκατοστάδύο

Η περιοχή της πλευράς, το κεκλιμένο τμήμα, μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

π (pi) × ακτίνα × μήκος κλίσης.

Στο παράδειγμά μας, το άθροισμα είναι 3,14 × 5 × 10 = 157 εκατοστάδύο.

Τέλος, προσθέστε την περιοχή βάσης στην πλαϊνή περιοχή για να λάβετε τη συνολική επιφάνεια του κώνου.

78,5 + 157 = 235,5 εκδύο


Υπολογίστε το εμβαδόν μιας σφαίρας.

Μπάλα τένις:
Διάμετρος = 2,6 ίντσες

Σφαίρα

οεπιφάνεια της σφαίραςείναι μια σχετικά απλή επέκταση του τύπου για την περιοχή ενός κύκλου.

4 × π × ακτίναδύο.

Για μια σφαίρα είναι συχνά πιο εύκολο να μετρηθεί η διάμετρος - η απόσταση κατά μήκος της σφαίρας. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα που είναι το ήμισυ της διαμέτρου.

Η διάμετρος μιας τυπικής μπάλας τένις είναι 2,6 ίντσες. Η ακτίνα είναι συνεπώς 1,3 ίντσες. Για τον τύπο χρειαζόμαστε την ακτίνα τετράγωνο. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Η επιφάνεια της μπάλας του τένις είναι επομένως:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 ίντσεςδύο.


Υπολογίστε την επιφάνεια ενός δακτυλίου.

Παράδειγμα:
R (Μεγάλη ακτίνα) = 20 cm
r (Μικρή ακτίνα) = 4 cm

Βάση στήλης

Για τον υπολογισμό τουεπιφάνεια του δακτυλίουπρέπει να βρείτε δύο τιμές ακτίνας.

Η μεγάλη ή κύρια ακτίνα (R) μετράται από τη μέση της οπής έως τη μέση του δακτυλίου.

Η μικρή ή μικρή ακτίνα (r) μετράται από το μέσο του δακτυλίου έως την εξωτερική άκρη.

Το διάγραμμα δείχνει δύο όψεις ενός παραδείγματος δακτυλίου και πώς να μετρήσετε τις ακτίνες του (ή ακτίνες).

Ο υπολογισμός για την εύρεση της επιφάνειας είναι σε δύο μέρη (ένα για κάθε ακτίνα). Ο υπολογισμός είναι ο ίδιος για κάθε μέρος.

Ο τύπος είναι: εμβαδόν επιφανείας = (2πR) (2πr)

Για να επεξεργαστείτε την επιφάνεια του παραδείγματος torus.

(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125.6

(2 × π × r) = (2 × 3.14 × 4) = 25.12

Πολλαπλασιάστε τις δύο απαντήσεις μαζί για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια του παραδείγματος torus.

125,6 × 25,12 = 3155,072 εκδύο.


Συμπλήρωση ενός στερεού: Όγκος

Με τρισδιάστατα σχήματα, ίσως χρειαστεί επίσης να γνωρίζετε πόσαΕνταση ΗΧΟΥέχουν.

Με άλλα λόγια, εάν τα γεμίσατε με νερό ή αέρα, πόσο γέμιση θα χρειαζόσασταν;

Αυτό καλύπτεται στη σελίδα μαςΥπολογισμός όγκου.

Συνέχισε να:
Υπολογισμός περιοχής
3D σχήματα και δίχτυα